CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 162
Para llegar a este nuevo concepto de convergencia, examinemos en detalle lo que significa que la sucesión { f n } ∞ n = 1 converja puntualmente a f en A. Esto quiere decir que, dado ɛ > 0, para todo x ∈ A existe N ∈ N, que en general dependerá de ɛ y de x, de forma que si n ≥ N entonces | f( x) − f n( x)| < ɛ. El problema de los ejemplos anteriores es que, fijado ɛ > 0, el N de la definición anterior puede depender de x. Si pedimos que esto no ocurra llegamos al importante concepto de convergencia uniforme:
Definición 7.28. Se dice que la sucesión de funciones { f n } ∞ n = 1 converge uniformemente a la función f en el conjunto A ⊂ R si para todo ɛ > 0 existe N ∈ N tal que
n ≥ N = ⇒ | f( x) − f n( x)| < ɛ, para todo x ∈ A.
La interpretación gráfica de la convergencia uniforme es muy clara: se pide que para todo ɛ > 0 toda la gráfica de la función f n en A esté comprendida en una franja abierta de anchura 2ɛ centrada en la gráfica de f en A, para n suficientemente grande( fig. 7.2). f + ε f
f n f – ε
Figura 7.2: Convergencia uniforme de una sucesión de funciones Es evidente de la definición que si { f n } ∞ n = 1 converge uniformemente a f en A entonces { f n } ∞ n = 1 converge puntualmente a f en dicho conjunto, pero el recíproco no es cierto en general( por ejemplo, puede verse que falla en el Ejemplo 7.27).
Los siguientes teoremas afirman que, en líneas generales, el límite de una sucesión de funciones uniformemente convergente goza de propiedades análogas a las de las funciones de la sucesión:
Teorema 7.29. Sea { f n } ∞ n = 1 una sucesión de funciones uniformemente convergente a f en [ a, b ].
i) Si f n es integrable en [ a, b ] para todo n ∈ N, entonces f es integrable en [ a, b ] y se cumple
∫ b
a f = lím n→∞
∫ b f n a