CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 161
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
-2-1 1 2 Figura 7.1: Gráfica de arctan( x 2n) para n = 1,..., 4
Ejemplo 7.27. Consideremos la sucesión de funciones { f n } ∞ n = 1 en que f n está definida por f n( x) = arctan( x 2n), ∀n ∈ N.
Las funciones f n están definidas y son diferenciables( de hecho, infinitas veces) en toda la recta real( fig. 7.1). El límite puntual f de la sucesión { f n } ∞ n = 1 existe para todo x ∈ R, y está dado por ⎧ ⎪⎨ 0, | x | < 1 f( x) = π
4 ⎪⎩, x = ± 1
π
2, | x | > 1.
A pesar de que las funciones f n son diferenciables en todo R, el límite puntual f = lím n→∞ f n no es ni siquiera continua en los puntos x = ± 1.
Pueden construirse también ejemplos( véase Spivak, p. 683) de sucesiones de funciones { f n } ∞ n = 1 integrables en un intervalo [ a, b ], que convergen puntualmente a una función f integrable en [ a, b ], pero tales que
∫ b
a f =
∫ b
a
() lím f n n→∞
7.3.1. Convergencia uniforme
≠ lím n→∞
En vista de ejemplos como los anteriores, es claro que es necesario definir un concepto de convergencia de una sucesión de funciones más fuerte que la convergencia puntual, de forma que el límite de una sucesión convergente de funciones tenga propiedades análogas a las de las funciones de la sucesión.
∫ b
a f n.