CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 160
Ejemplo 7.26. Para todo x ∈ R la sucesión de funciones { P n, 0, exp } ∞ n = 0 converge puntualmente a exp en R. En efecto, hay que probar que para todo x ∈ R se tiene lím P n, 0, exp( x) = lím n→∞ n→∞
Y, efectivamente( véase( 6.1c)), se verifica n∑
k = 0 x k k! = ex.
| e x − P n, 0, exp( x)| = | R n, 0, exp( x)| ≤ máx( 1, e x) | x | n + 1
En otras palabras, hemos probado que
e x =
∞∑
k = 0 x n n!, ∀x ∈ R.
( n + 1)! −−−→ n→∞ 0.
De forma análoga( utilizando las estimaciones( 6.1) y( 6.3)) se prueban las fórmulas
∞∑ cos x =( −1) n x2n
( 2n)!, ∀x ∈ R sen x =
log( 1 + x) =
arctan x = n = 0
|
∞∑
( −1) n x2n + 1
( 2n + 1)!,
∀x ∈ R
|
|
|
∞∑
( −1) n + 1xn n,
−1 < x ≤ 1
|
|
|
∞∑
( −1) n x2n + 1
2n + 1,
−1 ≤ x ≤ 1.
|
|
n = 0
n = 1
n = 0
En particular, esto demuestra las siguientes igualdades interesantes:
e =
log 2 =
π = 4
∞∑
n = 0
1 n! ∞∑( −1) n + 1
n = 1
∞∑
n = 0 n
( −1) n 2n + 1.
El problema fundamental que afecta al concepto de convergencia puntual de una sucesión( ó una serie) de funciones es que el límite puntual de una sucesión de funciones { f n } ∞ n = 1 no hereda en general las buenas propiedades( por ejemplo, la continuidad ó la diferenciabilidad) que puedan tener las funciones f n. Esto es precisamente lo que ocurre en el siguiente ejemplo: