CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 159
Ejemplo 7.24. La serie ∑ ∞ 1 n = 1 converge si y sólo si p > 1. En efecto, si np p ≤ 0 la serie es divergente porque su término general no tiende a cero, y si
p > 0 basta aplicar el criterio de la integral( con f( x) = x −p).
Prácticamente todos los criterios de convergencia de series vistos anteriormente son aplicables sólo a series de números no negativos. El criterio que veremos a continuación, sin embargo, es uno de los más importantes y sencillos que son válidos para series cuyo término general no tiene signo constante:
Teorema( criterio de Leibniz). Si a n ≥ a n + 1 > 0 para todo n ∈ N, y lím n→∞ a n = 0, entonces la serie ∑ ∞ n = 1( −1) n + 1 a n es convergente.
Demostración. Spivak, p. 656. Q. E. D. Ejercicio. Probar que si { a n } ∞ n = 1 cumple las condiciones del criterio de Leibniz entonces para todo m ∈ N se tiene
(
∑ ∞ 0 ≤( −1) m( −1) n + 1 a n −
n = 1
) m∑
( −1) n + 1 a n ≤ a m + 1,
siendo estas desigualdades estrictas si { a n } ∞ n = 1 es estrictamente decreciente. En tal caso, el error cometido truncando la serie tiene el mismo signo que el primer término despreciado(( −1) m + 2 a m + 1), y valor absoluto menor que el valor absoluto de dicho término. n = 1 es condicionalmente con-
Ejemplo 7.25. La serie alternada ∑ ∞( −1) n + 1 n = 1 n
vergente.
7.3. Sucesiones y series de funciones
Sea { f n: n ∈ N } una colección de funciones definidas en un dominio común D. Diremos que la sucesión de funciones { f n } ∞ n = 1 converge puntualmente en x ∈ D si la sucesión { f n( x)} ∞ n = 1 es convergente. Sea A ⊂ D el conjunto de todos los puntos x en que { f n } ∞ n = 1 converge puntualmente. El límite puntual de la sucesión { f n } ∞ n = 1 es la función f: R → R definida por f( x) = lím f n( x), ∀x ∈ A. n→∞
Diremos entonces que la sucesión { f n } ∞ n = 1 converge puntualmente a f en A, y escribiremos f = lím f n. n→∞
Obviamente( ya que las series son un caso particular de las sucesiones) definiciones análogas son válidas para una serie de funciones.