CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 158
Ejercicio. Estudiar la convergencia de la serie ∑ ∞ c k k! k = 1
, siendo c un número real kk.
Solución. Si c = 0, la serie converge trivialmente( su sucesión de sumas parciales es constante). Si c ≠ 0, aplicando el criterio del cociente se obtiene
| a n + 1 | | a n |
= | c | n + 1( n + 1)!/( n + 1) n + 1() n n | c | n n!/ n n = | c | = n + 1
| c |( 1 +
1 n
) n −−−→ n→∞
Por tanto, la serie dada es absolutamente convergente para | c | < e, y divergente para | c | > e. Para c = ± e, el criterio del cociente no decide. Sin embargo( véase Spivak, problema 21-13), al ser
e n n! n n > e, ∀n ∈ N, n > 1,
el término general de las series ∑ ∞ k = 1(± e) k k!/ k k no tiende a cero cuando k → ∞, por lo que dichas series son divergentes.
Citaremos sin demostración el siguiente criterio análogo al del cociente( aunque ligeramente más fuerte que éste; cf. Spivak, problema 21-18):
Teorema( criterio de la raíz). Si lím √ n n→∞ | a n | = r( donde admitimos que r = ∞), entonces ∑ ∞ k = 1 a k es absolutamente convergente si r < 1, y divergente si r > 1 ó r = ∞.
Para muchas series importantes( como, por ejemplo, ∑ ∞ n = 1 1 /( np)), el criterio del cociente( y, en este y en otros muchos casos, también el de la
raíz) no decide, porque lím n→∞ | a n + 1 | / | a n | es exactamente igual a 1. En algunos de estos ejemplos en que fallan los criterios del cociente y de la raíz se puede aplicar con éxito el siguiente criterio:
Teorema( criterio de la integral). Sea f: R → R una función positiva y no creciente en [ 1, ∞), y supongamos que f es integrable en [ 1, x ] para todo x ≥ 1. Si a k = f( k) para todo k ∈ N, entonces la serie ∑ ∞ k = 1 a k converge si y sólo si la integral impropia ∫ ∞ 1 f es convergente.
Demostración. En primer lugar, nótese que al ser f positiva la integral impropia ∫ ∞ 1 f es convergente si y sólo si el conjunto { ∫ x
1 f: x ≥ 1 } ∫ es acotado, n o equivalentemente si y sólo si existe lím n→∞ 1 f. Si P = { 1, 2,..., n }, al ser f no creciente se tiene
L( f, P) = n∑ f( k) = k = 2 n∑ a k ≤ k = 2
∫ n
1 n−1
∑ n−1
∑ f ≤ U( f, P) = f( k) = a k.
Como a k = f( k) > 0 para todo k ∈ N, de estas desigualdades se deduce fácilmente la tesis aplicando la Proposición 7.10. Q. E. D.
k = 1 k = 1
| c | e.