CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 157
El criterio anterior permite deducir el siguiente resultado, que es sumamente útil a la hora de estudiar la convergencia de una serie de números positivos:
Teorema( criterio del cociente). Sea a n ≠ 0 para todo número natural n ≥ M, y supóngase que existe el límite lím n→∞ | a n + 1 |/| a n | = r( donde admitimos que r = ∞). Entonces ∑ ∞ k = 1 a k es absolutamente convergente si r < 1, y divergente si r > 1 ó r = ∞.
( Si r = 1, el criterio del cociente no decide: hay series tanto convergentes como divergentes de términos positivos con r = 1.)
Demostración. Supongamos, en primer lugar, que r < 1. En tal caso, para todo ɛ > 0 existe N ∈ N, que podemos tomar ≥ M, tal que
n ≥ N = ⇒ r n ≡ | a n + 1 | | a n |
< r + ɛ.
Como r < 1, podemos tomar ɛ < 1 − r, en cuyo caso s = r + ɛ está en( 0,1). Además, para n ≥ N se tiene
0 < | a n + 1 | = r n r n−1... r N | a N | < s n−N + 1 | a N | = | a N | s N sn + 1.
Como s < 1, la serie geométrica ∑ ∞ k = 0 sk es convergente; por el criterio de comparación( nótese que | a N |/ s N es una constante), también lo
será ∑ ∞ n = 1 | a n |. Supongamos, por último, que fuera r > 1 ó r = ∞. Si r = ∞ y tomamos
s > 1 arbitrario, existe un número natural N ≥ M tal que
n ≥ N = ⇒ s < r n.( 7.1)
Si r > 1 es finito, tomando 0 < ɛ < r−1 y llamando s = r−ɛ > 1 deducimos de nuevo que existe un número natural N ≥ M tal que se cumple( 7.1). Por tanto, para todo n ≥ N se tiene ahora
| a n + 1 | > s n−N + 1 | a N | > | a N | > 0, lo cual implica que el término general de la serie ∑ ∞ k = 1 a k no tiende a cero cuando k → ∞, de donde se deduce que ∑ ∞ k = 1 a k es divergente. Q. E. D.
Ejemplo 7.23. La serie
∞∑
k = 0 converge absolutamente para todo x ∈ R. En efecto, si x = 0 el resultado es trivial, y si x ≠ 0 basta observar que x k k!
| a n + 1 | | a n |
= | x | n + 1 /( n + 1)! | x | n / n!
= | x | n + 1 −−−→ n→∞ 0.