CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 156
Ejemplo 7.21. Cualquiera que sea el número real θ, la serie ∞∑ sen( kθ)
k 2 k = 1 es absolutamente convergente. En efecto, para todo k ∈ N se tiene | sen( kθ)| k 2 ≤ 1 k 2, y la serie ∑ ∞ k = 1 1 es convergentes( lo probaremos en breve, utilizando el k 2 criterio de la integral).
Un corolario sencillo pero útil del criterio de comparación es el siguiente:
Proposición 7.22. Sea b n > 0 para n ≥ M, y supongamos que existe lím n→∞ a n / b n ≡ c( donde admitimos que c = ± ∞). Se tiene:
i) Si c ∈ R y c ≠ 0, ∑ ∞ k = 1 a k es convergente si y sólo si ∑ ∞ k = 1 b k lo es. ii) Si c = 0 y ∑ ∞ k = 1 b k es convergente, entonces ∑ ∞ k = 1 a k es convergente. iii) Si c = ± ∞ y ∑ ∞ k = 1 b k es divergente, entonces ∑ ∞
k = 1 a k es divergente. Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar c > 0 ó c = ∞( ∑
si c < 0 ó c = −∞, bastaría aplicar el razonamiento que sigue a la serie
∞ n = 1( −a n)). i) Al ser c > 0 existe N ∈ N, que podemos tomar ≥ M sin pérdida de
generalidad, tal que n ≥ N = ⇒ c 2 < a n
< 3c b n 2, de donde se sigue( multiplicando por b n > 0)
n ≥ N = ⇒ 0 < c 2 · b n < a n < 3c 2 · b n.
Si ∑ ∞ k = 1 b k es convergente, la última desigualdad y el criterio de comparación implican que ∑ ∞ k = 1 a k es convergente. Por último, si ∑ ∞ k = 1 b k es divergente entonces ∑ de la segunda desigualdad y el criterio de comparación se sigue que
∞ k = 1 a k es también divergente. ii) Si c = 0, existe N ≥ M tal que
n ≥ N = ⇒ −1 < a n b n
< 1.
Multiplicando por b n > 0 y aplicando el Corolario 7.19 se deduce que
∑ ∞
k = 1 a k es convergente. iii) Si c = ∞, existe N ≥ M tal que
n ≥ N = ⇒ a n b n
> 1.
Multiplicando por b n > 0 se obtiene, por el criterio de comparación, que
∑ ∞
k = 1 a k es divergente. Q. E. D.