CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 155
Teorema( criterio de comparación). Si 0 ≤ a n ≤ b n para todo número natural n ≥ M y ∑ ∞ k = 1 b k es convergente, entonces ∑ ∞ k = 1 a k es convergente.
Demostración. Al ser ∑ ∞ k = 1 b k convergente, para todo n ≥ M la suma parcial ∑ n k = 1 a k está acotada por ∑ M−1 k = 1( a k − b k) + ∑ ∞ k = 1 b k. Q. E. D.
Corolario 7.19. Si b n ≤ a n ≤ c n para todo número natural n ≥ M, y las series ∑ ∞ k = 1 b k y ∑ ∞ k = 1 c k son convergentes, entonces ∑ ∞ k = 1 a k es convergente. Demostración. En efecto, si n ≥ M se tiene
0 ≤ a n − b n ≤ c n − b n. Por el criterio de comparación, ∑ ∞ k = 1( a k − b k) es convergente, de donde se deduce la tesis al ser ∑ ∞ k = 1 b k convergente. Q. E. D.
Si ∑ ∞ k = 1 a k es una serie arbitraria, ∑ ∞ k = 1 | a k | es una serie de términos no negativos. Se dice que ∑ ∞ ∑ k = 1 a k es condicionalmente convergente si
∞ k = 1 a k converge pero ∑ ∞ k = 1 | a k | diverge, y absolutamente convergente si ∑ ∞ k = 1 | a k | es convergente. Como indica la notación, no es difícil ver que una serie absolutamente convergente es automáticamente convergente:
Proposición 7.20. Si ∑ ∞ k = 1 | a k | es convergente entonces ∑ ∞ k = 1 a k es también convergente.
Demostración. Esto se sigue inmediatamente del criterio de comparación, ya que para todo n ∈ N se tiene
− | a n | ≤ a n ≤ | a n |. Q. E. D.
Hay muchas series condicionalmente convergentes. Por ejemplo, veremos más adelante que la serie ∑ ∞ ∑ k = 1( −1) k + 1 / k es convergente, mientras que
∞ k = 1
1 / k es divergente( es la serie armónica). En general, las series absolutamente convergentes tienen mejores propiedades que las condicionalmente convergentes; por ejemplo, el producto de dos series absolutamente convergentes ∑ ∞ k = 1 a k y ∑ ∞ k = 1 b k se puede escribir de infinitas formas como una serie absolutamente convergente al producto( ∑ ∞ k = 1 a k)( ∑ ∞ k = 1 b k). Una serie absolutamente convergente tiene también la propiedad de que su carácter
convergente ó divergente y el valor de su suma no cambian si se reordenan los términos de dicha serie, cosa que no ocurre en general con las series condicionalmente convergentes( véase Spivak, pp. 658 – 663). Además, establecer la convergencia de una serie condicionalmente convergente suele ser difícil, ya que no pueden usarse los criterios elementales de convergencia válidos para series de números no negativos que veremos a continuación.