CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 154
Proposición 7.15. La serie ∑ ∞ k = 1 a k es convergente si y sólo si para todo ɛ > 0 existe N ∈ N tal que m∑ m > n ≥ N = ⇒ a ∣ k ∣ < ɛ. k = n + 1
Tomando m = n + 1 en el criterio de Cauchy obtenemos la siguiente condición necesaria para que una serie sea convergente:
Corolario 7.16. Si ∑ ∞ k = 1 a k es convergente, entonces lím k→∞ a k = 0. Ejemplo 7.17. Consideremos la serie geométrica ∑ ∞ k = 0 xk, siendo la razón x un número real arbitrario. Por el corolario anterior, esta serie es
divergente si | x | ≥ 1. Recíprocamente, veamos a continuación que si | x | < 1 la serie es convergente. En efecto, si x ≠ 1
s n = n∑
k = 0
Como | x | < 1, ∣ x n + 1∣ = | x |
n + 1 −−−→ n→∞ convergente en este caso, y su suma es ∞∑
k = 0 x k = 1 − xn + 1 1 − x. x k = 1 1 − x, | x | < 1.
0. Por tanto, la serie ∑ ∞ k = 0 xk es
Ejemplo 7.18. Veamos que la serie armónica ∑ ∞ k = 1
1 / k es divergente( aunque su término general tiende a cero). En efecto, basta tener en cuenta que si n > 1
1 n + 1 + 1 n + 2 + · · · + 1 n + n > n n + n = 1 2.
Al no cumplirse la condición de Cauchy para ɛ = 1 / 2( y m = 2n), la serie es divergente.
7.2.1. Criterios de convergencia
Un tipo muy importante de series son las series de números no negativos, es decir las series ∑ ∞ k = 1 a k tales que a k ≥ 0 para todo k ∈ N. En tal caso, la sucesión de sumas parciales es monótona no decreciente, y por tanto
una serie de números no negativos es convergente si y sólo si la sucesión de sus sumas parciales está acotada( en caso contrario, la serie diverge a infinito). Evidentemente, consideraciones análogas pueden hacerse para series de números no positivos.
Una ventaja de las series de término general no negativo( ó, en algunos casos, positivo) es que para este tipo de series se dispone de criterios sencillos para establecer su convergencia. Empecemos por el siguiente criterio elemental, consecuencia directa de la Proposición 7.10 aplicada a las sumas parciales de la serie: