CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 153
Por otra parte, si a = lím k→∞ a nk existe K ∈ N tal que k ≥ K = ⇒ | a nk − a | < ɛ 2.
Como( por definición de subsucesión) la sucesión de números naturales { n k } ∞ k = 1 es monótona creciente, existe m ≥ K tal que n m ≥ M. Si tomamos N = n m( ≥ M) entonces se cumple
n ≥ N = n m = ⇒ | a n − a | ≤ | a n − a nm | + | a nm − a | < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ.
7.2. Series numéricas
por
Q. E. D.
Por definición, la serie ∑ ∞ k = 1 a k es igual a la sucesión { s n } ∞ n = 1 definida
s n = n∑ a k. k = 1
El número s n se denomina la n-ésima suma parcial de la serie ∑ ∞ k = 1 a k. Diremos que dicha serie es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales { s n } ∞ n = 1 es convergente. Si ∑ ∞ k = 1 a k es convergente y s = lím n→∞ s n, diremos que s es la suma de la serie ∑ ∞ k = 1 a k, y escribiremos es decir
∞∑ a k = s, k = 1
∞∑ a k = lím k = 1 n→∞ k = 1
n∑ a k.
De las propiedades elementales de las sucesiones se deducen propiedades análogas para las series. En primer lugar, si una serie es convergente su suma es única. En segundo lugar, si ∑ ∞ k = 1 a k = s 1 y ∑ ∞ k = 1 b k = s 2 son dos series convergentes y λ,µ ∈ R, entonces la serie ∑ ∞ k = 1( λa k + µ b k) es convergente, y se tiene
∞∑( λa k + µ b k) = λs 1 + µ s 2. k = 1
El producto de dos series ∑ ∞ k = 1 a k y ∑ ∞ k = 1 b k es, sin embargo, una operación
∑
mucho más delicada, ya que, en principio, dicho producto es una serie doble
∞ n, m = 1 a nb m que puede ser escrita como serie ordinaria de infinitas formas distintas y en general no equivalentes.( Véase Spivak, p. 663.)
El criterio de Cauchy para sucesiones proporciona el siguiente criterio de Cauchy para series: