CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 152
7.1.2. El criterio de Cauchy
Hasta este punto, el único resultado que permite averiguar si una sucesión es convergente sin necesidad de tener una idea previa acerca del valor de su límite es la Proposición 7.10, que se aplica sólamente a un tipo muy particular de sucesiones( las acotadas). El criterio de Cauchy, que veremos a continuación, caracteriza de forma relativamente sencilla a las sucesiones convergentes sin necesidad de conocer cuál es su límite.
Definición 7.13. Una sucesión { a n } ∞ n = 1 para todo ɛ > 0 existe N ∈ N tal que es una sucesión de Cauchy si
n, m ≥ N = ⇒ | a n − a m | < ɛ.
Toda sucesión convergente es claramente de Cauchy. En efecto, si a = lím n→∞ a n entonces para todo ɛ > 0 existe N ∈ N tal que
De esto se deduce que n ≥ N = ⇒ | a n − a | < ɛ 2.
n, m ≥ N = ⇒ | a n − a m | ≤ | a n − a | + | a m − a | < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ.
El axioma del supremo de los números reales( a través del teorema de Bolzano – Weierstrass) garantiza que, recíprocamente, toda sucesión de Cauchy es convergente:
Teorema 7.14. Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy.
Demostración. Basta probar que una sucesión de Cauchy es convergente. Veamos, en primer lugar, que si { a n } ∞ n = 1 es una sucesión de Cauchy entonces { a n } ∞ n = 1 está acotada. En efecto, existe N ∈ N tal que( por ejemplo)
En particular, m, n ≥ N ⇒ | a m − a n | < 1.
n ≥ N = ⇒ | a n | ≤ | a n − a N | + | a N | < 1 + | a N |.
Entonces { a n: n ∈ N } está acotado por máx( 1 + | a N |, | a 1 |,..., | a N−1 |). Por el teorema de Bolzano – Weierstrass, toda sucesión de Cauchy { a n } ∞ n = 1 posee una subsucesión convergente { a nk } ∞ k = 1. Veamos, para finalizar la demostración, que esto implica que { a n } ∞ n = 1 es convergente. En efecto, para todo ɛ > 0 existe M ∈ N tal que m, n ≥ M = ⇒ | a m − a n | < ɛ 2.