CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 151
ya que 1 − i n < 1 − i n + 1, i = 1,..., n − 1. Esto también demuestra que a n > 2 para todo entero n ≥ 2. Por otra parte, al ser 1 / k! ≤ 1 / 2 k−1 para todo k ∈ N se verifica
a n ≤ 2 + n∑
k = 2 n−1
1 2 k−1 = 1 + ∑ k = 0
1 2 k = 1 + 1 − 1
1 − 1
2 n
2
= 3 − 1 2 n−1.
Esto prueba que la sucesión { a n } ∞ n = 1 está acotada superiormente( por 3), por lo que( al ser monótona creciente) es convergente. Además, al ser 2 < a n < 3 para todo entero n ≥ 2 y ser { a n } ∞ n = 1 creciente se tiene
2 < lím n→∞ a n ≡ e ≤ 3.
Una subsucesión de una sucesión { a n } ∞ n = 1 es una sucesión { b k } ∞ k = 1 tal que b k = a nk con n 1 < n 2 <... < n k < n k + 1 <....
Lema 7.12. Toda sucesión contiene una subsucesión que es ó bien no creciente ó bien no decreciente.
Demostración. Diremos que m ∈ N es un punto cumbre de una sucesión { a n } ∞ n = 1 si a m > a n para todo n > m. Si { a n } ∞ n = 1 contiene infinitos puntos cumbre n 1 < n 2 <... < n k < n k + 1 <..., entonces la subsucesión { a nk } ∞ k = 1 es monótona decreciente. Supongamos, por el contrario, que el número de puntos cumbre de la sucesión { a n } ∞ n = 1 es finito( posiblemente igual a cero). En tal caso, sea n 1 un número natural mayor que todos los puntos cumbre de la sucesión. Como n 1 no es un punto cumbre, existirá n 2 ∈ N tal que n 2 > n 1 y a n2 ≥ a n1. Como n 2 > n 1 tampoco es un punto cumbre, existirá n 3 ∈ N tal que n 3 > n 2 y a n3 ≥ a n2. Procediendo de esta forma, es claro que obtenemos una subsucesion no decreciente { a nk } ∞ k = 1. Q. E. D.
El corolario de este lema, que se conoce como Teorema de Bolzano – Weierstrass, es de gran importancia teórica:
Teorema de Bolzano – Weierstrass. Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
Demostración. Sea { a n } ∞ n = 1 una sucesión acotada. Por el lema anterior, esta sucesión admite una subsucesión { a nk } ∞ k = 1 no creciente ó no decreciente. Como esta subsucesión es acotada tanto superior como inferiormente( al serlo la sucesión { a n } ∞ n = 1), de la Proposición 7. 10 se sigue que { a n k
} ∞ k = 1 es convergente. Q. E. D.