CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 150
Proposición 7.10. Una sucesión monótona no decreciente( resp. no creciente) es convergente si y sólo si está acotada superiormente( resp. inferiormente).
Demostración. En primer lugar, podemos restringirnos a sucesiones no decrecientes( el resultado para una sucesión no creciente { a n } ∞ n = 1 se obtiene considerando { −a n } ∞ n = 1). En segundo lugar, toda sucesión convergente está acotada, tanto superior como inferiormente( la demostración es casi idéntica a la del resultado análogo para funciones arbitrarias). Por tanto, basta probar que si { a n } ∞ n = 1 es no decreciente y está acotada superiormente entonces es convergente. Si { a n } ∞ n = 1 está acotada superiormente, el conjunto no vacío A = { a n: n ∈ N }
está por definición acotado superiormente, y por tanto( axioma del supremo) existe a = supA. Veamos entonces que lím n→∞ a n = a. En efecto, por definición de supremo para todo ɛ > 0 el conjunto A ∩( a − ɛ, a ] es no vacío. Por tanto, existe N ∈ N tal que a − ɛ < a N ≤ a. Por ser la sucesión no decreciente, y ser a = supA, se cumplirá
y, en particular, n ≥ N = ⇒ a − ɛ < a N ≤ a n ≤ a,
n ≥ N = ⇒ | a − a n | < ɛ. Esto implica nuestra afirmación. Q. E. D.
Nota. Es muy fácil probar que una sucesión monótona no decreciente( resp. no creciente) no acotada superiormente( resp. inferiormente) diverge a infinito( resp. menos infinito).
Ejemplo 7.11. Probaremos a continuación que( 1 + 1) n
= e, n lím n→∞ con 2 < e ≤ 3. Veamos, en primer lugar, que si a n =( 1 + 1) n n entonces la sucesión { a n } ∞ n = 1 es monótona creciente. En efecto, utilizando la fórmula del binomio de Newton para n ≥ 2 obtenemos
( 1 + 1 n
) n
= 2 + n∑
k = 2
= 2 +
() n 1
k n∑
k = 2
1 k! n k
( 1 − 1)(
1 − 2)(
· · · 1 − k − 1) < a n + 1, n n n