CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 149
Ejemplo 7.8. Supongamos que existe una función f: R → R definida en [ 1, ∞) tal que a n = f( n) para todo n ∈ N. En tal caso, si existe lím x→∞ f( x) entonces también existe lím n→∞ a n, y se tiene
lím f( x) = lím a n. x→∞ n→∞
Por ejemplo, para la sucesión a n = n√ n se puede tomar f( x) = x 1 / x. Como( aplicando la regla de L’ Hospital)
log x lím x→∞ x = lím 1 x→∞ x = 0, se tiene lím x→∞ x 1 / x = 1, y por tanto lím n→∞ n√ n = 1.
Nótese, sin embargo, que de la no existencia de lím x→∞ f( x) no se puede deducir la no existencia de lím n→∞ a n. Por ejemplo, si f( x) = sen( πx) entonces no existe lím x→∞ f( x), mientras que
lím sen( πn) = lím 0 = 0. n→∞ n→∞
El siguiente resultado caracteriza de forma sencilla la existencia del límite de una función en un punto mediante sucesiones que tienden a dicho punto:
Proposición 7.9. Sea a un punto de acumulación del dominio de una función f: R → R, y sea l ∈ R. Entonces lím x→a f( x) = l si y sólo si para toda sucesión { a n } ∞ n = 1 que cumple i) a n ∈ dom f para todo n ∈ N ii) a n ≠ a para todo n ∈ N iii) lím n→∞ a n = a la sucesión { f( a n)} ∞ n = 1 cumple lím n→∞ f( a n) = l.
7.1.1. Teorema de Bolzano – Weierstrass
Un tipo muy importante de sucesiones de números reales son las sucesiones monótonas. Por definición( que en realidad es un caso particular de la definición análoga para funciones de R → R), una sucesión { a n } ∞ n = 1 es monótona creciente( resp. no decreciente) si a m > a n( resp. a m ≥ a n) para todo m > n( m, n ∈ N). De forma análoga( invirtiendo el sentido de las desigualdades anteriores) se define una sucesión monótona decreciente ó no creciente. Como en el caso de funciones, se dice que una sucesión es estrictamente monótona si es monótona creciente ó decreciente. La siguiente propiedad fundamental de las sucesiones monótonas se deduce directamente del axioma del supremo: