CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 148
iii) Si, además, b ≠ 0, entonces existe m ∈ N tal que b n ≠ 0 para todo n ≥ m, y se tiene
1 lím = 1 n→∞ b n b.
En particular, de la proposición anterior se deduce que si lím n→∞ a n = a entonces para todo λ ∈ R se tiene
lím( λa n) = λa, n→∞
y si además lím n→∞ b n = b ≠ 0 entonces la sucesión a n / b n está definida para n ∈ N suficientemente grande, y se tiene
a n lím = a n→∞ b n b.
Ejemplo 7.3. lím n→∞ xn =
|
⎧
⎪⎨
0,
|
| x | < 1 |
|
⎪⎩
1,
∞,
|
x = 1 x > 1. |
Si x ≤ −1 entonces lím n→∞ x n diverge y no es ni siquiera ± ∞, ya que en este caso x n tiene signo alternado cuando n → ∞. Todo esto se deduce fácilmente utilizando las fórmulas x n = e n log x si x > 0 y x n =( −1) n | x | n si x < 0.
2 n +( −1) n Ejemplo 7.4. lím n→∞
2 n + 1 +( −1) n + 1 = 1
2. En primer lugar, nótese que el denominador no se anula para ningún
n ∈ N( es, de hecho, mayor ó igual que 5). Basta entonces tener en cuenta que 2 n +( −1) n 1 2 n + 1 +( −1) n + 1 = 2 +( −1) n
2 n + 1 1 / 2 1 +( −1) −−−→ n + 1 n→∞ 1 = 1
2.
2 n + 1
Ejemplo 7.5. Si x es un número real, por lo visto en el capítulo anterior se tiene x n lím n→∞ n! = 0. n! Ejemplo 7.6. lím n→∞ n n = 0.
En efecto, n! n n = 1 n
2 n · · · n − 1 n n n ≤ 1 n −−−→ 0. n→∞
2 n2 Ejemplo 7.7. diverge a infinito. n!
En efecto,
2 n2
=( 2n) n
≥ 2 n −−−→ n! n! ∞,
n→∞ ya que 2 n > n para todo n ∈ N( fórmula del binomio de Newton).