Capítulo 7
Sucesiones y series
7.1. Sucesiones numéricas
Una sucesión de números reales es una función a: R → R tal que dom a = N( ó, a veces, dom a = N ∪ { 0 }). Tradicionalmente, a( n) se denota por a n, y la sucesión se indica por { a n } ∞ n = 1.
Si { a n } ∞ n = 1 es una sucesión de números reales, la definición de lím n→∞ a n es un caso particular de la de lím x→∞ f( x). Sin embargo, por su importancia merece la pena recordarla explícitamente:
Definición 7.1. Si { a n } ∞ n = 1 es una sucesión de números reales y l ∈ R, se dice que lím a n = l n→∞
si para todo ɛ > 0 existe N ∈ N tal que
n ≥ N = ⇒ | a n − l | < ɛ.
Cuando existe( i. e., es un número real) lím n→∞ a n, diremos que la sucesión { a n } ∞ n = 1 es convergente, y divergente en caso contrario. Las propiedades del límite de una sucesión se deducen como caso particular de las del límite cuando x tiende a infinito de una función f( x):
Proposición 7.2. Sean { a n } ∞ n = 1 y { b n } ∞ n = 1 les. dos sucesiones de números rea-
i) Si lím n→∞ a n existe, entonces es único.
ii) Si existen lím n→∞ a n = a y lím n→∞ b n = b, entonces las sucesiones { a n + b n } ∞ n = 1 y { a nb n } ∞ n = 1 son convergentes, y se tiene lím( a n + b n) = a + b, n→∞ lím( a nb n) = ab. n→∞
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