CAPÍTULO 6. EL TEOREMA DE TAYLOR 146
Por el Corolario 6.2, para probar que el polinomio de Taylor de orden 2n + 1 de arctan en 0 es
P 2n + 1, 0, arctan( x) = n∑( −1) k x2k + 1
2k + 1, k = 0 basta probar que
Q 2n + 1( x) lím x→0 x 2n + 1 = 0.
Pero esto es inmediato, ya que
∣
∫ x
0 t 2n + 2
1 + t 2 dt
∣ ≤ ∣ En particular, de esto se sigue que
y que
∫ x
0 t 2n + 2 dt
∣ = | x | 2n + 3 2n + 3.
R 2n + 1, 0, arctan( x) =( −1) n + 1 ∫ x
Nótese que, al cumplirse también
se verifica
y por tanto
| R 2n + 1, 0, arctan( x)| ≤ | x | 2n + 3
Q 2n + 1( x) lím x→0 x 2n + 2 = 0,
0 t 2n + 2
1 + t 2 dt
P 2n + 2, 0, arctan( x) = P 2n + 1, 0, arctan( x),
arctan( 2k)( 0) = 0, ∀k ∈ N ∪ { 0 }, lo cuál era de esperar al ser arctan una función impar.
Ejercicio. Si f( x) = log( 1 + x), utilizando la identidad
log( 1 + x) =
∫ x
0
2n + 3.( 6. 3)
dt 1 + t
y la misma técnica del ejercicio anterior, pruébese que
y dedúzcase( 6.2).
R n, 0, f( x) =( −1) n ∫ x
0 t n dt, x > −1, 1 + t