CAPÍTULO 6. EL TEOREMA DE TAYLOR 145
Tomando x = 1 / 2 en esta fórmula se deduce que basta con que 2 2n + 3( 2n + 3)! > 10 12. Teniendo en cuenta la tabla siguiente de valores de 2 2n + 3( 2n + 3)!:
n 2 2n + 3( 2n + 3)! 0 48 1 3840 2 645120 3 185794560 4 81749606400 5 51011754393600
se ve que basta tomar n = 5, lo que proporciona el valor
1 2 − 1
8 · 6 + 1 32 · 120 − 1
128 · 5040 + 1 512 · 362880 − 1
2048 · 39916800
= 39192849079 81749606400 ≃ 0, 479425538604183,
a comparar con el valor exacto con 15 decimales sen( 1 / 2) = 0,479425538604203.
Nota. Obsérvese, sin embargo, que para calcular log 2 con la misma precisión que antes ¡ necesitaríamos utilizar un polinomio de Taylor de orden 10 12!
Ejercicio. Calcular el polinomio de Taylor de orden m de arctan en 0, y estimar el error cometido reemplazando arctan( x) por P m, 0, arctan( x).
Solución. En primer lugar, nótese que para todo x ∈ R podemos escribir
arctan x =
∫ x
0 dt 1 + t 2.
La fórmula para la suma de una serie geométrica de razón r =( −t 2)
proporciona la identidad
n∑
k = 0 r k = 1 − rn + 1 1 − r, r ≠ 1,
1 n∑ 1 + t 2 =( −1) k t 2k +( −1) n + 1 t2n + 2
1 + t 2. k = 0
Integrando esta igualdad entre cero y x( las funciones del miembro derecho son claramente continuas en todo R) se obtiene
siendo arctan x = n∑( −1) k x2k + 1
2k + 1 + Q 2n + 1( x), k = 0
Q 2n + 1( x) =( −1) n + 1 ∫ x
0 t 2n + 2
1 + t 2 dt.