CAPÍTULO 6. EL TEOREMA DE TAYLOR 144
Ejemplo 6.3. Utilizando la forma de Lagrange del resto se obtienen fácilmente las siguientes estimaciones:
| R n, 0, cos( x)| ≤ | x | n + 1
Si 0 < x ≤ 1, puede probarse que
( n + 1)!,( 6. 1a)
| R n, 0, sen( x)| ≤ | x | n + 1( n + 1)! ⎧ ⎪⎨ e x | x | n + 1
( n + 1)!, x > 0
| R n, 0, exp( x)| ≤ | x | ⎪⎩ n + 1( n + 1)!, x < 0
( 6.1b)
( 6.1c)
| R n, 1, log( x)| ≤ | x − 1 | n + 1, x ≥ 1.( 6.1d) n + 1
véase el ejercicio al final de este capítulo.
| R n, 1, log( x)| ≤ | x − 1 | n + 1 x( n + 1);( 6. 2)
Estas estimaciones permiten calcular el valor de las funciones elementales anteriores en un punto x con la aproximación que se desee si | R n, f, a( x)| → 0 cuando n → ∞( a = 0 ó 1 en este caso).
En primer lugar, obsérvese que si m ∈ N y t > 0 entonces
t m lím m→∞ m! = 0. En efecto, si m > N = [ t ] entonces podemos escribir t m m! = t m · t m − 1 · · · t
N + 1 · tN N! ≤ t m · tN
N!,
donde el último término es constante( no depende de m) y el primero tiende a cero cuando m tiende a infinito. Por tanto, cualquiera que sea x ∈ R para f = cos, sen, exp se cumple que | R n, 0, f( x)| tiende a cero cuando n tiende a infinito. Para la función logaritmo, sólo se puede asegurar esto si | x − 1 | ≤ 1, es decir si 0 < x ≤ 2( ya que la estimación del resto que hemos utilizado sólo vale si x > 0), pues sólo entonces | x − 1 | n + 1 está acotado cuando n → ∞.
Por ejemplo, supongamos que queremos calcular sen( 1 / 2)( es decir, el seno de un ángulo de 90 / π ≃ 28,65 grados) con un error menor que 10 −12. Teniendo en cuenta que P 2n + 1, 0, sen = P 2n + 2, 0, sen y utilizando la fórmula de Cauchy para el resto de orden 2n + 2 obtenemos
| sen x − P 2n + 1, 0, sen( x)| ≤ | x | 2n + 3( 2n + 3)!