CAPÍTULO 6. EL TEOREMA DE TAYLOR 143
Si x < a, el mismo resultado es válido reemplazando los intervalos( a, x) y [ a, x ] por( x, a) y [ x, a ], respectivamente.
Demostración. Supongamos, para fijar ideas, que x > a. Si t ∈ [ a, x ], definimos n∑ f( k)( t) S( t) = R n, t, f( x) = f( x) −( x − t) k; k!
obsérvese que x es un número real fijo, mientras que t es una variable real que recorre el intervalo [ a, x ]. Por definición, S( x) = 0, y S( a) = R n, a, f( x) es el número que queremos estimar. Por las hipótesis sobre f, S es derivable en [ a, x ], y se cumple:
S ′( t) = − n∑
k = 0 f( k + 1)( t) k!
( x−t) k + k = 1 k = 0
n∑ f( k)( t)( k − 1)!( x−t) k−1 = − f( n + 1)( t)
( x−t) n. n!
Si f( n + 1) es integrable en [ a, x ], lo mismo ocurrirá con S ′( puede probarse que el producto de funciones integrables es integrable), y por tanto
S( x) − S( a) = 0 − R n, a, f( x) =
∫ x
a
∫ x S ′ f( n + 1)( t)( t) dt = −( x − t) n dt, a n! lo cual demuestra la fórmula integral del resto.
Para obtener la forma de Cauchy del resto aplicamos el teorema del valor medio a S en el intervalo [ a, x ], obteniendo que
S( x) − S( a) = −R n, a, f( x) = S ′( t 1)( x − a) = − f( n + 1)( t 1)( x − t 1) n( x − a) n!
para algún t 1 ∈( a, x). Finalmente, aplicando el teorema del valor medio de Cauchy a las funciones S( t) y g( t) =( x − t) n + 1 en el intervalo [ a, x ] obtenemos
S( x) − S( a) 0 −( x − a) n + 1 = R n, a, f( x)
( x − a) n + 1 = S ′( t 2) −( n + 1)( x − t 2) n
= −f( n + 1)( t 2)( x − t 2) n / n! −( n + 1)( x − t 2) n = f( n + 1)( t 2)
( n + 1)!
para algún t 2 ∈( a, x), lo que conduce a la forma de Lagrange del resto. Q. E. D.
Nota. Para n = 0 el teorema de Taylor proporciona el teorema del valor medio de Lagrange y la regla de Barrow.