CAPÍTULO 6. EL TEOREMA DE TAYLOR 142
Diremos que dos funciones f y g son iguales hasta orden n en a si están definidas en un intervalo abierto centrado en a, y se cumple
f( x) − g( x) lím x→a( x − a) n = 0.
En particular, hemos probado que una función derivable n veces en un punto a y su polinomio de Taylor de orden n en a son iguales hasta orden n en a. Es muy fácil ver( aplíquese, por ejemplo, la regla de L’ Hospital), que dos polinomios de grado ≤ n son iguales hasta orden n en a si y sólo si son iguales. De esto se deduce la siguiente propiedad característica del polinomio de Taylor de una función en un punto:
Corolario 6.2. Sea f: R → R una función n veces derivable en a, y sea P un polinomio de grado ≤ n. Si f y P son iguales hasta orden n en a, entonces P = P n, a, f.
Demostración. Basta observar que P y P n, a, f son dos polinomios de grado ≤ n iguales hasta orden n en a, ya que
P( x) − P n, a, f( x) P( x) − f( x) f( x) − P n, a, f( x) lím x→a( x − a) n = lím x→a( x − a) n + lím x→a( x − a) n = 0.
Q. E. D.
Si f es n veces derivable en a, definimos el resto de orden n en a mediante
R n, a, f( x) = f( x) − P n, a, f( x).
Por lo visto anteriormente, R n, a, f( x) se hace muy pequeño cuando x → a; en efecto, R n, a, f( x) tiende a cero más rápido que( x − a) n cuando x → a. El siguiente resultado nos proporciona estimaciones mucho más precisas( y muy útiles en la práctica) de este resto:
Teorema de Taylor. Si f: R → R es n + 1 veces derivable en el intervalo [ a, x ]( con x > a), entonces existen t 1, t 2 ∈( a, x) tales que
i) R n, a, f( x) = f( n + 1)( t 1)( x − t 1) n( x − a)( resto de Cauchy) n! ii) R n, a, f( x) = f( n + 1)( t 2)
( x − a) n + 1( resto de Lagrange)
( n + 1)! iii) Además, si f( n + 1) es integrable en [ a, x ] entonces se verifica
R n, a, f( x) =
∫ x
a f( n + 1)( t) n!
( x − t) n dt( forma integral del resto)