CAPÍTULO 6. EL TEOREMA DE TAYLOR 141
Frecuentemente escribiremos P n, a, o incluso P n, cuando la función f y el punto a queden claros por el contexto. Para muchas funciones elementales sencillas, el cálculo de P n, a, f no ofrece ninguna dificultad. Por ejemplo,
P 2m, 0, cos( x) =
P 2m + 1, 0, sen( x) =
P n, 0, exp( x) =
P n, 1, log( x) = m∑( −1) k x2k
( 2k)! = P 2m + 1,0, cos( x) m∑( −1) k x 2k + 1
( 2k + 1)! = P 2m + 2,0, sen( x) n∑ x k k! n∑( −1) k + 1( x − 1) k
. k k = 0
k = 0
k = 0
k = 1
Sin embargo, para otras funciones elementales también muy sencillas el cálculo de P n, a, f a partir de su definición puede ser más complicado; por ejemplo, considérese la función f( x) = arctan x en a = 0.
Una primera propiedad interesante del polinomio de Taylor de orden n de una función en un punto es la siguiente:
Proposición 6.1. Si f: R → R es n veces derivable en a ∈ R, entonces f( x) − P n, a, f( x) lím x→a( x − a) n = 0.
( En otras palabras, el error cometido reemplazando f( x) por P n, a, f( x) tiende a cero cuando x → a más rápido que( x − a) n.)
Demostración. Si
Q( x) = P n−1, a, f( x) = P n, a, f( x) − f( n)( a) ∑n−1( x − a) n = n! k = 0 hay que probar que f( x) − Q( x) lím x→a( x − a) n = f( n)( a)
. n! f( k)( a)( x − a) k, k!
Aplicando la regla de L’ Hospital n−1 veces( téngase en cuenta que f( k)( a) = Q( k)( a) para k ≤ n − 1, por definición de P n, a, f) se obtiene
f( x) − Q( x) f ′( x) − Q ′( x) lím x→a( x − a) n = lím = · · · = lím x→a n( x − a) n−1 x→a
= lím x→a f( n−1)( x) − f( n−1)( a) n!( x − a) f( n−1)( x) − Q( n−1)( x) n!( x − a)
= f( n)( a), n! por definición de f( n)( a). Q. E. D.