Capítulo 6
El teorema de Taylor
El cálculo del valor de un polinomio en un punto cualquiera es una operación algebraica elemental, ya que se reduce a un número finito de sumas y productos. No ocurre lo mismo, en general, con una función no polinómica, ni siquiera para funciones elementales sencillas; por ejemplo, ¿ cómo se calcula sen1, ó e √2? Resulta por ello de gran importancia práctica el poder aproximar una función cualquiera( suficientemente regular) en las proximidades de un punto por un polinomio adecuado. En este capítulo estudiaremos esta cuestión, prestando especial atención a obtener estimaciones del error cometido al reemplazar una función por su aproximación polinómica.
Un polinomio P de grado ≤ n está unívocamente determinado por el valor de sus derivadas P( k)( a) de orden k ≤ n en un punto cualquiera a. En efecto, si
P( k)( a) = c k, 0 ≤ k ≤ n( donde hemos utilizado la notación P( 0) ≡ P), entonces es fácil probar que
P( x) = n∑
k = 0 c k k!( x − a) k.
En particular, si P y Q son dos polinomios de grado ≤ n, y P( k)( a) = Q( k)( a) para k = 0,1,..., n, entonces P = Q.
Sea f: R → R una función n veces derivable en un punto a ∈ R; en particular, obsérvese que las derivadas de orden ≤ n −1 de f están definidas en un intervalo abierto centrado en a. Llamaremos polinomio de Taylor de orden n de f en a al polinomio P n, a, f de grado ≤ n cuyas derivadas de orden ≤ n en el punto a coinciden con las de f. Por la observación del apartado anterior,
P n, a, f( x) = n∑
k = 0 f( k)( a)( x − a) k. k!
140