CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 139
Teniendo en cuenta que el volumen de un cilindro de radio r y altura h es πr 2 h, y considerando en cada subintervalo [ x i−1, x i ] sendos cilindros de radios m i y M i y altura x i − x i−1, obtenemos
n∑ πm 2 i( x i − x i−1) ≤ V ≤ i = 1 n∑ πMi 2( x i − x i−1) i = 1 o bien L( πf 2, P) ≤ V ≤ U( πf 2, P).
Como f 2 es continua en [ a, b ]( al serlo f), es integrable en dicho intervalo; por tanto
V = π
∫ b
a f( x) 2 dx.
Para calcular el área S de la superficie lateral del sólido anterior se utiliza la fórmula
S = 2π
∫ b
a f( x) √ 1 + f ′( x) 2 dx
( donde f ′ se supone continua en [ a, b ]). La justificación heurística de esta fórmula se basa en que la superficie lateral de un tronco de cono de radios r 1 y r 2 y arista s es igual a πs( r 1 + r 2). Esto se deduce fácilmente a partir de la fórmula S = πrs para la superficie lateral S de un cono de arista s, que a su vez se basa en la fórmula para la superficie lateral de una pirámide recta( S = ps / 2, siendo p el perímetro de la base de la pirámide y s la altura de los triángulos que forman las caras). Véase Spivak, pp. 396 – 398, para los detalles.
Ejemplo 5.46. Calculemos el volumen y la superficie lateral de una esfera de radio R > 0. Para ello, basta observar que la mitad de dicha esfera se puede obtener girando la circunferencia y = √ R 2 − x 2( 0 ≤ x ≤ R) alrededor del eje x. Aplicando las fórmulas anteriores obtenemos:
y
V = 2 · π
∫ R
0
A = 2 · 2π
( R 2 − x 2) dx = 2π
∫ R
0
() R 3 − R3
= 4 3 3 πR3
√ R 2 − x 2 R · √
R 2 − x dx = 2 4πR2.