CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 138
Como f ′( x) = x( x 2 + 2) 1 / 2, se tiene 1 + f ′( x) 2 = 1 + x 2( x 2 + 2) =( x 2 + 1) 2.
Por tanto, la longitud de esta curva es
∫ 1
0
( x 2 + 1) dx = 1 3 + 1 = 4
3.
Ejemplo 5.45. Consideremos la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = f( θ), siendo f ′ continua en [ θ 0, θ 1 ]. Las ecuaciones paramétricas de la curva son
x = f( θ) cos θ, y = f( θ) sen θ, θ 0 ≤ θ ≤ θ 1. Aplicando( 5.14) se obtiene
l =
∫ θ1
θ 0
√ f( t) 2 + f ′( t) 2 dt.
Para una circunferencia de centro el origen y radio R > 0 es f( θ) = R para todo θ ∈ [ 0,2π ]; por tanto, la longitud de dicha circunferencia es igual a
l =
∫ 2π
0
√ R 2 + 0 2 dt = 2πR.
5.7.3. Volumen y área de un sólido de revolución
Sea V el volumen del sólido de revolución obtenido girando alrededor del eje x la gráfica de la función f: R → R entre a y b( fig. 5.5).
y f a b x
Figura 5.5: Sólido de revolución
Supondremos que f es no negativa y continua en [ a, b ]. Si P = { x 0,..., x n } es una partición del intervalo [ a, b ], sea como siempre
m i = inf { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}, M i = sup { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}.