CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 137
y
( x( t 0), y( t 0))
( x( t), y( t))( x( t + h), y( t + h))
( x( t 1), y( t 1)) x
Figura 5.4: Longitud de un arco de curva
Sea s( t) la longitud del arco de la curva obtenido variando el parámetro entre los valores t 0 y t. Aplicando el teorema del valor medio se obtiene( fig. 5.4)
√ s( t + h) − s( t) ≃ sig h · [ x( t + h) − x( t)] 2 + [ y( t + h) − y( t)] 2
= h √ x ′( c 1) 2 + y ′( c 2) 2,
donde c 1, c 2 ∈( t, t + h) si h > 0 y c 1, c 2 ∈( t + h, t) si h < 0. Esto sugiere que
s ′ s( t + h) − s( t) √( t) = lím
= lím x h→0 h ′( c 1) 2 + y ′( c 2) 2 = √ x ′( t) 2 + y ′( t) 2, h→0 y por tanto( teniendo en cuenta que s( t 0) = 0)
s( t) =
∫ t
t 0
√ x ′( u) 2 + y ′( u) 2 du.
En particular, la longitud de la curva vendrá dada por
l =
∫ t1
t 0
√ x ′( t) 2 + y ′( t) 2 dt.( 5.14)
Ejemplo 5.44. Consideremos la curva de ecuación y = f( x), siendo f ′ continua en [ x 0, x 1 ]. En este caso x( t) = t e y( t) = f( t), y por tanto la longitud de esta curva es igual a
l =
∫ x1
x 0
√
1 + f ′( x) 2 dx.
Por ejemplo, calculemos la longitud de la curva de ecuación y = 1
3( x2 + 2) 3 / 2, 0 ≤ x ≤ 1.