CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 135
Ejemplo 5.41.
es divergente, aunque
Ejemplo 5.42.
∫ ∞
0 dx x 3 + 1
es divergente para todo p ∈ R.
∫ ∞
−∞ dx x 3 + 1
es convergente( su valor es
2π 3 √ 3).
∫ ∞
0 x p dx
Ejercicio. ¿ Para qué valores de a, b ∈ R es convergente la integral
∫ ∞
0 x a | x − 1 | b dx?
Solución. Para a > −1, b > −1 y a + b < −1; equivalentemente, si −1 < a < 0 y −1 < b < −1 − a.
Ejemplo 5.43. Consideremos la integral ∫ 1 dx −1 x
. Como el integrando no está acotado en x = 0, la integral anterior es impropia en cero. Por definición, dicha ∫ integral convergerá si y sólo si convergen por separado las dos integrales
0 dx
−1 x y ∫ 1 dx 0 x
, y su valor en tal caso será igual a la suma de dichas integrales. Como la segunda integral no es convergente( véase el Ejemplo 5.38; tampoco la primera integral es convergente), la integral dada es divergente. Nótese que esta integral no se define como
( ∫ −ɛ ∫ dx 1 lím ɛ→0 + −1 x + ɛ
) dx
, x
que obviamente existe y vale cero( el límite anterior es el valor principal de Cauchy de la integral divergente dada).
5.7. Aplicaciones de la integral
5.7.1. Área limitada por la gráfica de una función
Si f: R → R es no negativa e integrable en [ a, b ] con a < b, la integral
∫ b
a f es igual al área de la región limitada por la gráfica de f, las rectas verticales x = a y x = b, y el eje x. Si f es no positiva y a < b, ∫ b a f =
− ∫ b a
( −f) es igual a menos el área limitada por la gráfica de f en [ a, b ] y el eje x( fig. 5.2).