CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 134
derecha en 0 si su valor en 0 se define como dicho límite). Sea ahora p > 0.
Si α > 0 se tiene lím x→0 + xα | log x | p = 0;
por el criterio de comparación por paso al límite, ∫ 1 / 2 0
| log x | p dx converge si ∫ 1 / 2 0 x −α es convergente. Tomando( por ejemplo) α = 1 / 2 se obtiene que la integral considerada es convergente también para p > 0.
Ejercicio. Discutir la convergencia de ∫ π / 2 0 log( sen x) dx por dos procedimientos distintos: i) realizando el cambio de variable u = sen x, y ii) escribiendo
( sen x
) log( sen x) = log + log x. x
5.6.3. Integrales impropias de tercera especie
Las integrales impropias de tercera especie combinan dos ó más integrales impropias de primera y / ó segunda especie. Por ejemplo, la integral ∫ ∞
−∞ f es impropia en ± ∞( es equivalente a la suma de dos integrales impropias de
primera especie), ó la integral ∫ ∞ √dx
0 x es impropia en 0 y en ∞( es la suma de una integral impropia de primera especie y otra de segunda especie). Consideremos, por ejemplo, una integral impropia del tipo ∫ ∞
−∞ f. Diremos que esta integral es convergente si para algún a ∈ R convergen las dos
integrales impropias ∫ a −∞ f y ∫ ∞ a f por separado, y en tal caso su valor se define mediante
∫ ∞
−∞ f =
∫ a
−∞ f +
∫ ∞
Se prueba fácilmente que la convergencia de las dos integrales del miembro derecho y la suma de sus valores( es decir, el valor de ∫ ∞ −∞ f) no dependen del valor de a escogido.
∫ x
Nota. Obsérvese, sin embargo, que la existencia de lím x→∞ −x f no implica, en general, la convergencia de ∫ ∞
−∞ f.
Ejemplo 5.39.
Ejemplo 5.40.
∫ ∞
−∞
∫ ∞ a dx 1 + x 2 = π
−∞ xdx 1 + x 2
∫ t xdx es divergente, aunque lím t→∞ −t 1 + x 2 = 0. f.