CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 133
Obviamente, una integral impropia de segunda especie en el extremo inferior se reduce a una en el extremo superior bajo la transformación u = −x. Podemos por tanto restringirnos, sin pérdida de generalidad, a estudiar integrales impropias de segunda especie en el extremo superior.
Todos los resultados vistos para integrales impropias de primera especie se cumplen, mutatis mutandis, para integrales impropias de segunda especie. De hecho, si f es continua la integral impropia de segunda especie ∫ b a f( t) dt se reduce a una de primera especie mediante el cambio
y = 1 b − t.
En efecto,
y por tanto
∫ x
a
lím x→b− f( t) dt =
∫ x
a
∫ 1 /( b−x)
1 /( b−a)
(
1 y 2f b − 1) dy y
∫ u
( 1 f = lím u→∞ 1 /( b−a) y 2f b − 1) dy. y
En otras palabras,
∫ b
a f =
∫ ∞
1 /( b−a)
(
1 y 2f b − 1) dy, y
donde la igualdad debe entenderse en el siguiente sentido: el miembro izquierdo es convergente si y sólo si lo es el miembro derecho, y en tal caso ambos miembros son iguales.
Ejemplo 5.37. Estudiemos la convergencia de la integral impropia de segunda especie ∫ 1 0 xp dx en función de p ∈ R. Si 0 < ɛ < 1, ∫ {
1 1 x p dx = p + 1 − ɛp + 1
p + 1, p ≠ −1
− log ɛ, p = −1. ɛ
Por tanto, ∫ 1 0 xp dx converge si y sólo si p > −1, y en tal caso se tiene
∫ 1
0 x p dx = 1 p + 1.
( Nótese que para p ≥ 0 esta es una integral ordinaria, ya que en tal caso x p es continua en cero.)
Ejemplo 5.38. Consideremos la integral ∫ 1 / 2 0
| log x | p dx, donde p es un número real cualquiera. Si p ≤ 0 la integral es convergente( ya que en tal caso | log x | p tiene límite cuando x → 0 +, y por tanto es continua por la