CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 132
si f es integrable en [ c, a ] para todo c < a. Este tipo de integral impropia tiene propiedades idénticas a las vistas para la integral ∫ ∞ a f. En efecto, es fácil ver que
y por tanto
Esto implica que lím x→−∞
∫ a
x
∫ a
∫ a
x
−∞
f =
∫ −x
−a f( −t) dt,
∫ u f = lím f( −t) dt. u→∞ −a f =
∫ ∞
−a f( −t) dt, donde el miembro izquierdo existe si y sólo si existe el miembro derecho.
5.6.2. Integrales impropias de segunda especie
Supongamos que f no es integrable en [ a, b ], pero sí es integrable en [ a, c ] para todo c ∈( a, b). Por ejemplo, esto ocurrirá si f es continua en [ a, b) pero no es acotada en las proximidades de b. Nuestro objetivo es intentar dar sentido a ∫ b a f( integral impropia de segunda especie en el extremo superior).
Definición 5.36. Si f: R → R es integrable en [ a, c ] para todo c ∈( a, b) pero no es integrable en [ a, b ], diremos que la integral impropia de segunda especie ∫ b a f es convergente si existe
lím x→b−
∫ x y en tal caso definiremos ∫ b a f como el límite anterior. Nótese que si f es integrable en [ a, b ] entonces se cumple
∫ x lím x→b− a a
f =
ya que hemos probado( Proposición 5.18) que F( x) = ∫ x a f es continua en
[ a, b ].
De forma análoga se define la integral impropia de segunda especie en el extremo inferior: si f es integrable en [ c, b ] para todo c ∈( a, b) pero no es integrable en [ a, b ], entonces
∫ b
a f = lím x→a +
f,
∫ b
a
∫ b
x f,
f.