CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 131
Ejemplo 5.34. Sean P ≠ 0 y Q polinomios, con Q( x) ≠ 0 para x ≥ a, y sean p = gr P, q = gr Q. Entonces ∫ ∞ P( x) a Q( x) dx es convergente si y sólo si q ≥ p + 2. En primer lugar, la no anulación de Q en [ a, ∞) implica que P / Q es continua, y por tanto integrable, en [ a, b ] para todo b > a. Además, se tiene
P( x) Q( x) = a px p + · · · + a 0 b q x q = x p−q a p + · · · + a0
x p
+ · · · + b 0 b q + · · · + b ≡ x p−q h( x),
0 x q
siendo lím x→∞ h( x) = a p / b q ≠ 0( nótese que a p y b q no se anulan por hipótesis). Por el teorema anterior, ∫ ∞
∫ a
( P / Q) tiene el mismo carácter que
∞
∫c x p−q( con c > máx( a, 0)); nuestra afirmación se sigue fácilmente de que
∞ c x p−q dx converge si y sólo si p − q < −1, es decir( al ser p, q ∈ N) si y sólo si p − q ≤ −2.
Ejemplo 5.35. Veamos que ∫ ∞ 0 e −ax2 dx converge para a > 0( la integral es claramente divergente para a ≤ 0). En efecto, si x > 1 y a > 0 entonces ax < ax 2 y por tanto 0 < e −ax2 < e −ax para x > 1( recuérdese que exp es monótona creciente). Por el criterio de comparación, ∫ ∞ 0 e −ax2 dx es convergente.
Supongamos que f y | f | son integrables para b > a( puede probarse que la integrabilidad de f en un intervalo implica la de | f |). Se dirá que la integral ∫ ∞ a f es absolutamente convergente si ∫ ∞ a
| f | es convergente. Al ser
− | f | ≤ f ≤ | f | se cumple
y por tanto
−
∫ b
a
| f | ≤
∣
∫ b
a
∫ b
a f ≤
∫ b
a
∫ b f ∣ ≤ | f |. a
| f |, ∀b > a,
Del corolario anterior se sigue que si ∫ ∞ a f es absolutamente convergente entonces ∫ ∞ a f es convergente, y además se verifica
∫ ∞
∫ ∞
∣ f ∣ ≤ | f | a a
Sin embargo( véase el capítulo siguiente) ∫ ∞ a f puede ser convergente sin ser absolutamente convergente. De forma totalmente análoga se define la integral impropia de primera especie ∫ a
−∞ f:
∫ a
−∞ f = lím x→−∞
∫ a
x f,