CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 130
Corolario 5.33. Sean f, g, h: R → R funciones integrables en [ a, b ] para todo b > a. Si existe c ≥ a tal que
y las integrales ∫ ∞ a convergente. x ≥ c = ⇒ g( x) ≤ f( x) ≤ h( x), g e
∫ ∞ a h son convergentes, entonces la integral ∫ ∞ a f es
Demostración. En efecto, f − g y h − g son integrables en [ a, b ] para todo b > a y satisfacen
x ≥ c = ⇒ 0 ≤ f( x) − g( x) ≤ h( x) − g( x).
Como ∫ ∞ a( h − g) = ∫ ∞ a h − ∫ ∞
∫ a g es convergente, por la proposición anterior
∞ a( f − g) es convergente, y por tanto ∫ ∞ a f = ∫ ∞ a
[( f − g) + g ] es también convergente. Q. E. D.
Teorema( criterio de comparación por paso al límite). Sean f y g integrables en [ a, b ] para todo b > a, con g( x) > 0 para todo x ≥ c ≥ a. Si existe f( x) l = lím( donde se admite que l = ± ∞) se cumple: x→∞ g( x)
i) Si 0 ≠ l ∈ R, las integrales ∫ ∞ a f y ∫ ∞ a g tienen el mismo carácter( es decir, ó ambas son convergentes ó ambas son divergentes).
ii) Si l = 0 y ∫ ∞ a g es convergente, entonces ∫ ∞ a f es convergente. iii) Si l = ± ∞ y ∫ ∞ a g es divergente, entonces ∫ ∞ a f es divergente.
Demostración. En primer lugar, como ∫ ∞ a f y ∫ ∞ a
( −f) tienen el mismo carácter, podemos suponer sin pérdida de generalidad que l ≥ 0 ó l = ∞. Supongamos que l > 0; entonces existe M > c tal que
ó equivalentemente( al ser g( x) > 0)
x ≥ M = ⇒ 0 < l 2 < f( x) g( x) < 3l
2,
x ≥ M = ⇒ 0 < l 2 g( x) < f( x) < 3l
2 g( x), lo cual claramente implica la parte i) por el criterio de comparación. Si l = 0, de nuevo existe M > c tal que( por ejemplo)
−1 < f( x) g( x)
< 1 ⇐⇒ −g( x) < f( x) < g( x), ∀x ≥ M, y la convergencia de ∫ ∞ a f se sigue de la de ∫ ∞ a g por el teorema de comparación. Finalmente, si l = ∞ entonces existe M > c tal que
f( x) g( x)
> 1 ⇐⇒ f( x) > g( x), ∀x ≥ M, lo
∫ que, de nuevo por el teorema de comparación, implica la divergencia de
∞
a f si ∫ ∞ a g es divergente. Q. E. D.