CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 129
Por otra parte, veamos que si A está acotado superiormente entonces la integral ∫ ∞ a f es convergente y su valor es igual a supA. En efecto, si A está acotado superiormente existirá z = sup A. Por definición de supremo, para todo ɛ > 0 existe c ≥ a tal que
z − ɛ < F( c) =
∫ c
a f ≤ z.
Aplicando, de nuevo, que F es no decreciente se obtiene
lo cual implica que
x ≥ c = ⇒ z − ɛ < F( c) ≤ F( x) =
∫ x lím x→∞ a f = z,
∫ x
a f ≤ z,
como habíamos afirmado. Hemos probado por tanto el siguiente resultado:
Proposición 5.31. Si f es integrable y no negativa en [ a, ∞), la integral impropia ∫ ∞ a f es convergente si y sólo si F( x) = ∫ x a f está acotada superiormente en [ a, ∞). En tal caso ∫ ∞ a f es igual al supremo de F en dicho conjunto, y en caso contrario( es decir, si F no está acotada superiormente en [ a, ∞)) se tiene ∫ ∞ a f = ∞.
El siguiente criterio de comparación es muy útil a la hora de estudiar la convergencia de integrales impropias de primera especie:
Proposición 5.32. Sean f, g: R → R dos funciones integrables en [ a, b ] para todo b > a, y supongamos que existe c ≥ a tal que 0 ≤ f( x) ≤ g( x) para todo x ≥ c. Entonces se verifica:
i) ∫ ∞ a
ii) ∫ ∞ a g convergente = ⇒ ∫ ∞ a f convergente f divergente = ⇒
∫ ∞ a g divergente
Demostración. Claramente ii) es consecuencia de i). En cuanto a i), nótese que si ∫ ∞ a g es convergente entonces, al ser g no negativa en [ c, ∞) se tendrá
∫ x
c g ≤
∫ ∞
c g, ∀x ≥ c
( ya que ∫ ∞ c g es el supremo de G( x) = ∫ x c g en [ c, ∞) por la proposición anterior). Al ser
∫ x c
∫ x
c f ≤
∫ x
c g ≤
∫ ∞
f está acotada para x ≥ c, lo cual implica( al ser f no negativa en [ c, ∞)) f, y por tanto también ∫ ∞ a f, es convergente. Q. E. D. que ∫ ∞ c c g