CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 128
Ejemplo 5.28. La integral impropia ∫ ∞ 0 cos xdx es divergente( es decir, no es convergente). En efecto,
∫ x
0 cos t dt = sen x
no tiene límite cuando x → ∞. Lo mismo ocurre con la integral ∫ ∞ 0 sen xdx.
Ejemplo 5.29. La integral ∫ ∞ 0 e −ax dx es convergente si y sólo si a > 0, y su valor en tal caso es 1 / a. En efecto, si a = 0 la integral ∫ ∞ 0 dx claramente diverge. Si a ≠ 0,
∫ x e −at dt = − e−at t = x a ∣ = 1 a( 1 − 1 e−ax) −−−→ x→∞ a, a > 0.
0 t = 0
Ejemplo 5.30. Veamos que
∫ ∞ dx 1 + x 2 = π 2.
0
En efecto, ∫ x dt lím x→∞
0 1 + t 2 = lím arctan x = π x→∞ 2. Un caso particularmente importante es aquél en que f es no negativa en
[ a, ∞). En este caso F( x) = ∫ x a f es una función no decreciente en [ a, ∞), ya que a ≤ x < y = ⇒ F( y) − F( x) =
∫ y
a f −
Consideremos el conjunto A = F([ a, ∞)), es decir { ∫ x
}
A = f: x ≥ a. a
∫ x
a f =
Si este conjunto no es acotado superiormente entonces
∫ x lím x→∞ a f = ∞.
∫ y
x f ≥ 0.
En efecto, si A no está acotado superiormente para todo M ∈ R existe c ≥ a tal que F( c) = ∫ c a f > M. Pero, al ser F no decreciente, se cumple entonces
x ≥ c = ⇒ F( x) =
∫ x
a f > M.( 5.13)
Luego cualquiera que sea M ∈ R existe
∫ c ≥ a tal que se cumple( 5.13), lo x que por definición significa que lím x→∞ a f = ∞. Diremos, en este caso, que ∫ ∞ a f diverge a ∞, y escribiremos
∫ ∞
a f = ∞.