CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 127
a partir del concepto de integral de una función en un intervalo acotado [ a, b ].
Definición 5.26. Sea f: R → R una función integrable en [ a, b ] para todo b > a. Diremos que la integral ∫ ∞ a f es convergente si existe el límite
lím x→∞
∫ x
Si ∫ ∞ a f es convergente, definimos el valor de dicha integral por
∫ ∞
a a
f = lím x→∞
Las propiedades de linealidad, subdivisión y mayoración se cumplen también para integrales impropias de primera especie, cuando dichas integrales son convergentes. En otras palabras, si ∫ ∞ a f e ∫ ∞ a g son convergentes y λ,µ ∈ R se tiene: i) ∫ ∞ a( λf + µ g) = λ∫ ∞ a ii) Si c > a, ∫ ∞ c f + µ ∫ ∞ a g f.
∫ x
a f.
f es convergente si y sólo si ∫ ∞ a f lo es, y se cumple
∫ ∞
a f =
∫ c
a f +
iii) Si f( x) ≤ g( x) para todo x ≥ a entonces
∫ ∞
a f ≤
∫ ∞
a
∫ ∞
Se deja para el lector la demostración de estas afirmaciones, que se siguen fácilmente de las propiedades análogas de la integral ordinaria y de las propiedades de los límites.
Ejemplo 5.27. Estudiemos la convergencia de la integral impropia ∫ ∞ 1 x p dx, en función del exponente p ∈ R. Se tiene: ∫ { x x p + 1 t p p + 1 dt = − 1
p + 1, p ≠ −1; log x, p = −1.
1 x
Si p = −1, lím x→∞ log x no existe. Si p ≠ −1, lím p + 1 x→∞ p + 1 existe si y sólo si p + 1 < 0, y vale 0. Por tanto, la integral ∫ ∞ 1 x p dx es convergente si y sólo si p < −1, y su valor es
∫ ∞
1 x p dx = − 1 p + 1, p < −1.
c
g f