CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 126
Ejemplo: ∫ ∫ du √ = 1 + u 2
∫ cos t sec 2 t dt = sectdt
ya que u + √ 1 + u 2 > 0 para todo u ∈ R.
= log | sect + tan t | = log( u + √ 1 + u 2),
Nota. Las integrales de los tipos iv. b) y iv. c) se pueden también reducir a integrales de funciones racionales mediante los cambios u = ch t y u = sh t, respectivamente.
Ejemplo 5.24. |
|
∫ √1 ∫
+ x 2 dx = sec 3 t dt
|
( x = tan t) |
∫ |
∫ |
= |
sect( tan t) ′ dt = sec t tan t − |
tan t · sec t tan t dt |
|
∫ |
|
= secttan t − |
sec t( sec 2 t − 1) dt, |
de donde se sigue que ∫ sec 3 t dt = 1 [ sec t tan t + log | sec t + tan t |] 2 y por tanto ∫ √1
+ x 2 dx = 1 [ x √ 1 + x 2 2 + log( x + √ ]
1 + x 2).
Ejemplo 5.25. ∫ √x 2 − 1dx = x √ x 2 − 1 −
∫ x 2
√ x 2 − 1 dx
= x √ x 2 ∣ − 1 − log ∣x + √ ∫ x 2 √x − 1∣ − 2 − 1dx de donde
∫ √x 2 − 1 dx = 1( x √ x
2 2 − 1 − log
∣ ∣x + √) x 2 − 1∣.
5.6. Integrales impropias
5.6.1. Integrales impropias de primera especie Definiremos, en primer lugar, la integral impropia de primera especie
∫ ∞
a f