CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 125
( donde se ha tenido en cuenta que cos t ≥ 0 si − π 2 ≤ t ≤ π 2). Análogamente, el cambio de variable { π
} u = sec t, t ∈ [ 0, π ] −
2
convierte una integral del tipo b) en una integral del tipo ii): ∫
˜R( u, √ [ ∫
] u 2 − 1) du = ˜R( sec t, ± tan t) sec t tan t dt
donde el signo +( resp. −) corresponde a u ≥ 1( resp. u ≤ −1). Ejemplo:
∫ ∫ du √ u 2 − 1 = ±
∫
= ±
ó más precisamente
Sin embargo,
∫
, t = arcsec u
1 · sec t tan t dt tan t ∣
sec t dt = ± log | sect + tan t | = ± log ∣u ± √ u 2 − 1∣, du √ u 2 − 1 =
⎧ ⎨ ∣ log ∣u + √ u 2 − 1∣, u ≥ 1 ⎩ ∣
− log ∣u − √ u 2 − 1∣, u ≤ −1.
∣ − log ∣u − √ u 2 1
− 1∣ = log
∣ ∣u − √ u 2 − 1∣ ∣ ∣u + √ u 2 − 1∣
= log
| u 2 −( u 2 − 1)| = log ∣
∣u + √ u 2 − 1∣, lo que nos permite escribir ∫ du √ u 2 − 1 = log ∣
∣u + √ u 2 − 1∣, | u | ≥ 1.
Finalmente, una integral del tipo c) se convierte de nuevo en una integral del tipo ii) mediante el cambio
( u = tan t, t ∈ − π 2, π)
. 2
En efecto, ∫
˜R( u, √ [ ∫ 1 + u 2) du =
] ˜R( tan t, sec t) sec 2 t dt.
t = arctan u