CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 124
Ejemplo: ∫ √ ∫ 1 − x dx = −4 1 + x u 2
∫
( 1 + u 2 du = −4arctan u + 4
) 2
( 1 2 arctan u + 1 u
2 1 + u 2
= −4arctan u + 4
= −2arctan u + 2u 1 + u 2 = −2arctan
= √ √
1 − x 1 − x 2 − 2arctan
1 + x, du( 1 + u 2)
) 2
√
1 − x 1 + x +( 1 + x)
√
1 − x 1 + x
donde hemos utilizado que √( 1 − x)/( 1 + x) está definido si y sólo si x ∈( −1,1 ]. Nótese que en este ejemplo
u 2 = 1 − x 1 + x = −1 + 2
1 + x = ⇒ 1 + x = 2
4udu
= ⇒ dx = − 1 + u2( 1 + u 2) 2. iv) Las integrales del tipo ∫
R( x, √ ax 2 + bx + c) dx, a ≠ 0, ∆ = b 2 − 4ac ≠ 0,
donde R es una función racional de dos variables, no se transforman en integrales de funciones racionales mediante el cambio u = √ ax 2 + bx + c. |
Para racionalizar esta integral, se efectúa en primer lugar un cambio de |
variable lineal |
ax + b √
| ∆ |
2 = u
2
|
que la transforma en uno de los tres tipos más sencillos siguientes: |
a) |
∫
˜R( u, √ 1 − u 2) du
|
( a < 0, ∆ > 0) |
b) |
∫
˜R( u, √ u 2 − 1) du
|
( a > 0, ∆ > 0) |
c) |
∫
˜R( u, √ 1 + u 2) du
|
( a > 0, ∆ < 0), |
donde ˜R es de nuevo una función racional de dos variables. Si la integral es del tipo a), el cambio de variable
[ u = sen t, t ∈ − π 2, π ]
2
( ó u = cos t) la reduce a una del tipo ii): ∫
˜R( u, √ [ ∫
]
1 − u 2) du = ˜R( sen t, cos t) cos t dt t = arcsen u