CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 123
Como
1 + tan x 2 1 − tan x 2
=
() 1 + tan x 2 2
1 − tan 2 x 2
= 1 + tan2 x 2 1 − tan 2 x 2
+ 2tan x 2 1 − tan 2 x 2
= sec x + tan x, también podemos escribir ∫ sec xdx = log | sec x + tan x |.
iii) Las integrales de la forma ∫( √) ax + b R x, dx, cx + d
donde de nuevo R es una función racional de dos variables y ∆ = ad − bc ≠ 0,
también se reducen a la integral de una función racional mediante el cambio de variable √ ax + b u = = ⇒ x = du2 − b cx + d a − cu 2.
En efecto, du = ∆ 2u de donde ∫( √) [ ∫ ax + b
R x, dx = 2∆ cx + d dx( cx + d) 2 =( a − cu2) 2 dx
2∆u
( u du 2) ]
( a − cu 2) 2 R − b a − cu 2, u du q. u = ax + b cx + d
En particular, si R es una función racional de dos variables la integral ∫
R( x, √ ax + b) dx, a ≠ 0,
se convierte mediante el cambio u = √ ax + b
en la integral de una función racional: ∫
R( x, √ ax + b) dx = 2 [ ∫( u 2) ]
− b R, u udu a a u = √. ax + b