CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 122
5.5.4. Integrales reducibles a integrales de funciones racionales
i) Las integrales del tipo ∫
R( e x) dx, R función racional,
se reducen a la integral de una función racional mediante el cambio de variable
En efecto,
Ejemplo: ∫ ∫ dx 1 + e x = u = e x, du = e x dx = ⇒ dx = du u. ∫
[ ∫ R( u)
R( e x) dx = u
] du.
u = e x
∫( du 1 u( 1 + u) = u − 1)
= log | u | − log | 1 + u |
1 + u = log e x − log( 1 + e x) = x − log( 1 + e x). ii) La integral ∫
R( sen x, cos x) dx,
donde R( s, t) es una función racional de dos variables s y t, se reduce también a la integral de una función racional mediante el cambio
Como
u = tan x 2, du = 1 2 sec2 x 2 dx = 1
2( 1 + u2) dx = ⇒ dx = 2du 1 + u 2. cos x = 2cos 2 x 2 − 1 = 2 sec 2 x 2
sen x = 2sen x 2 cos x 2 = 2 tan x 2 sec 2 x 2 se obtiene ∫
[ ∫
R( sen x, cos x) dx =
− 1 = 2 1 + u 2 − 1 = 1 − u2
1 + u 2,
= 2u 1 + u 2,
( 2 2u
1 + u 2R 1 + u 2, 1 −) ] u2 1 + u 2 du. u = tan( x / 2)
Ejemplo: ∫ ∫ 1 + u
2
∫( 2du 1 sec xdx = 1 − u 2 1 + u 2 = 1 − u + 1) du 1 + u
= log | 1 + u | − log | 1 − u | = log
1 + tan x 2 ∣1 − tan x ∣ = log ∣ 2
∣tan
( x 2 + π 4
) ∣.