CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 121
Basta por tanto con saber calcular las siguientes integrales: ∫ ∫ dx
( x − a) n =( x − a) −n dx =( x − a) 1−n
, n ∈ N, n > 1, 1 − n
∫ dx
= log | x − a |, x − a
∫
Cx + D [( x − a) 2 + b 2 ] n dx, b ≠ 0.
Esta última integral se simplifica primero mediante el cambio de variable x − a = bu, que la transforma en una integral más simple del tipo
∫ ∫
∫ Au + B
( u 2 + 1) n du = A udu( u 2 + 1) n + B du
( u 2 + 1) n.
La primera integral se evalúa fácilmente mediante el cambio u 2 + 1 = v,
obteniéndose ∫ u( u 2 + 1) n du = 1 ∫ v −n dv
2 ⎧
1
⎨2 log | v | = 1
2 log( u2 + 1), n = 1 = v
⎩ 1−n
2( 1 − n) =( u2 + 1) 1−n
, n > 1.
2( 1 − n)
Por tanto, el problema de integrar una función racional arbitraria se reduce en última instancia al problema de calcular la integral
∫ du
I n( u) =
( u 2 + 1) n, n ∈ N.
Si n = 1, ya hemos visto que I 1( u) = arctan u. Si n ∈ N, integrando por partes obtenemos
∫ 1
I n( u) = u ·( u 2 + 1) n −
=
En consecuencia u · u( u 2 + 1) n + 2n [ I n( u) − I n + 1( u)].
I n + 1( u) = 2n − 1 2n I n( u) + 1
2n
∫
−2nu( u 2 + 1) n + 1 du = u
( u 2 + 1) n + 2n u( u 2 + 1) n, ∀n ∈ N, u 2 du( u 2 + 1) n + 1
fórmula que permite calcular recurrentemente I n( u) para todo n ∈ N a partir de I 1( u) = arctan u. Por lo tanto, hemos demostrado que la integral de una función racional es una función elemental expresable en términos de funciones racionales, logaritmos y arcotangentes.