CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 120
5.5.3. Integración de funciones racionales
La integral de un polinomio arbitrario de grado n es un polinomio de grado n + 1, calculable fácilmente a partir de la integral ∫ x k dx = x k + 1 /( k + 1)( si k ∈ N ∪ { 0 }) y las propiedades de linealidad de la integral:
∫ n∑ a k x k dx = k = 0 n∑
k = 0 a k k + 1 xk + 1.
Si f es una función racional, su integral no tiene por qué ser otra función racional; por ejemplo, ∫ dx / x = log | x | ó ∫ dx /( x 2 + 1) = arctan x. Sin embargo, puede probarse que ∫ f es siempre una función elemental, calculable explícitamente por un algoritmo que resumiremos a continuación.
En primer lugar( dividiendo si es preciso el numerador de f por su denominador) siempre podemos escribir
f( x) = S( x) + P( x) Q( x),
siendo S, P y Q polinomios con gr P < gr Q( nótese que S = 0 si el grado del numerador de f es menor que el de su denominador). Basta por tanto considerar la integral de la función racional P / Q con gr P < gr Q.
Se demuestra en los cursos de Álgebra Lineal y Variable Compleja que el polinomio Q se puede factorizar como sigue:
Q( x) = c( x − x 1) r1 · · · · ·( x − x k) r k
[( x −a 1) 2 + b 2
1 ] q1 · · · · ·[( x − a m) 2 + b 2 m ] qm,
siendo r i, q j ≥ 1 y b j > 0 para todo i = 1,..., k, j = 1,..., m. Los números x i ∈ R son las raíces reales de Q, de multiplicidad r i, y los números complejos a j ± ib j ∈ C son las raíces complejas de dicho polinomio, de multiplicidad q j.( Nótese que k ó m son iguales a cero si Q no tiene raíces reales ó complejas, respectivamente.) Nos apoyaremos a continuación en un resultado que se demuestra en los cursos de Variable Compleja( véase por ejemplo el libro Análisis de Variable Compleja( ed. Aguilar, 1971) de Lars V. Ahlfors): la función racional P / Q se puede descomponer en la suma de fracciones simples
P( x) Q( x) = A 11
+ · · · + A 1r 1 x − x 1( x − x 1) r +...
1
+ A k1
+ · · · + A kr k x − x k( x − x k) r k
+ B 11x + C 11( x − a 1) 2 + b 2
1
+ · · · + B 1q 1 x + C 1q1 [( x − a 1) 2 + b 2
1 ] q 1 +...
+ B m1x + C m1( x − a m) 2 + b 2 + · · · + B mq m x + C mqm m [( x − a m) 2 + b 2 m ]. qm