CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 117
En particular,
∫ b
a
∫ b f( x) g ′( x) dx = f( x) g( x)| b a − f ′( x) g( x) dx.
Demostración. En efecto, al ser f y g derivables la regla de Leibniz afirma que
( fg) ′ = f ′ g + fg ′ en [ a, b ].
Esto es equivalente a la igualdad ∫ ∫
fg =( f ′ g + fg ′) =
∫
( f ′ g) + a
( fg ′) en [ a, b ],
donde la segunda igualdad se debe a que, al ser f ′ y g ′( y por tanto f y g) continuas en [ a, b ], f ′ g y fg ′ son continuas en [ a, b ], y por tanto admiten una primitiva en dicho intervalo. De esta última igualdad se sigue obviamente la fórmula de integración por partes, mientras que la última afirmación del teorema se deduce aplicando la regla de Barrow( Corolario 5.19), ya que f ′ g y fg ′ son continuas en [ a, b ]. Q. E. D.
Ejemplo 5.20. La regla de integración por partes nos permite calcular las
primitivas de algunas funciones elementales importantes. Por ejemplo, ∫ ∫
∫ log xdx =( x) ′ log xdx = xlog x − x · 1 dx = x( log x − 1). x
Análogamente, ∫
∫ arctan xdx =
∫
( x) ′ arctan xdx = x arctan x −
= x arctan x − 1 2 log( 1 + x2). x 1 + x 2 dx
Ejemplo 5.21. La primitiva de un polinomio es otro polinomio, que se calcula fácilmente utilizando la fórmula para la primitiva de x n con n ∈ N∪ { 0 }. Si P es un polinomio y f es una función( por ejemplo) infinitamente
diferenciable con una primitiva g conocida, la regla de Leibniz proporciona ∫
∫
∫ P( x) f( x) dx = P( x) g ′( x) dx = P( x) g( x) − P ′( x) g( x) dx,
donde aparece la integral de g por un polinomio de grado inferior en una unidad al de P. Si ∫ g es también conocida, se puede aplicar la regla de Leibniz para simplificar la última integral, y así sucesivamente. En particular, si f( x) = e x ó f( x) = sen x ó f( x) = cos x, todas cuyas primitivas sucesivas son conocidas, es claro que este método permite calcular ∫ P( x) f( x) dx para
cualquier polinomio P. Por ejemplo, ∫
∫
∫ x 2 e x dx = x 2 e x −2 xe x dx = x 2 e x −2xe x + 2 e x dx =( x 2 −2x + 2) e x.