CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 116
g ′ = f es conocida, entonces ya sabemos que ∫ f = g. Por ejemplo, ∫ x p dx = xp + 1 p + 1, p ≠ −1
∫ dx x = log | x |
∫ e x dx = e x
∫ sen xdx = − cos x
∫ cos xdx = sen x
∫ sec 2 xdx = tan x
∫ cosec 2 xdx = − cot x
∫ dx 1 + x 2 = arctan x
∫ dx √ = arcsen x 1 − x
2
Análogamente, de la igualdad entre derivadas( λF + µ G) ′ = λF ′ + µ G ′, λ,µ ∈ R constantes
se sigue la igualdad entre primitivas ∫
∫
( λf + µ g) = λ
∫ f + µ g.
Ejercicio. ¿ Cómo debe interpretarse esta última fórmula?
Solución. Si f y g admiten una primitiva en un intervalo J, entonces otro tanto ocurre con λf + µ g para todo λ,µ ∈ R, y se cumple la igualdad anterior. Nótese que la existencia de primitiva( por ejemplo) de f + g no implica la existencia de primitiva de f y de g por separado.
5.5.1. Integración por partes
La fórmula de integración por partes es la versión en términos de primitivas de la regla de Leibniz:
Teorema( fórmula de integración por partes). Si f ′ y g ′ son continuas en un intervalo [ a, b ] entonces
∫ ∫( fg ′) = fg −( f ′ g) en [ a, b ].