CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 115
Esta fórmula se puede extender a valores arbitrarios de a y b para ciertos valores de p, por ejemplo para p ∈ N ∪ { 0 }.
Si f es una función integrable en [ a, b ], f no tiene por qué tener ninguna primitiva. Por ejemplo, si f: R → R es la función definida por f( x) = 0 si x ≠ 0 y f( 0) = 1 entonces f es integrable en [ −1,1 ], pero puede probarse( ejercicio 3) que f no tiene primitiva en [ −1,1 ]. Por otra parte, si f es continua en [ a, b ] el teorema fundamental del Cálculo asegura que una primitiva de f en [ a, b ] es la función x ↦→ ∫ x a f, y por tanto cualquier primitiva de f es de la forma( ∫ x a f) + c para alguna constante c. Debido a esto, utilizaremos a partir de ahora la notación
∫ ∫ f ó f( x) dx
para denotar una primitiva cualquiera de f en un cierto intervalo. Es importante darse cuenta de que la notación ∫ f denota una primitiva cualquiera de f. En otras palabras, la notación
∫ f = g
no es más que una abreviatura conveniente de la igualdad g ′ = f.
Por tanto, podemos escribir ∫ x 3 = x4 4 y también ∫ x 3 = x4 4 + 1, sin que esto implique que x4
4 = x4
4 + 1.( En general, ∫ f = g 1 e ∫ f = g 2 en un intervalo J implica que g 2 = g 1 + c en J para alguna constante c.)
Veremos en esta sección algunos método sencillos pero muy importantes para calcular primitivas de funciones elementales en términos de funciones elementales, cuando esto sea posible.( La primitiva de una función elemental no tiene por qué ser una función elemental. Por ejemplo, puede probarse que la primitiva de e x2 no es una función elemental.) Antes de deducir estos métodos, conviene recordar que si g es una función elemental cuya derivada
3 Si g ′ = f en [ −1,1 ], como f es integrable en [ −1, x ] para todo x ∈ [ −1, 1 ] e R x f = 0 −1 se tendría R x f = g( x) − g( −1) = 0 ⇒ g constante en [ −1, 1 ] ⇒ f = g ′ = 0 en [ −1, 1 ].
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