CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 114
La fórmula para la derivada de la integral respecto del límite inferior se deduce fácilmente de lo anterior. En efecto, si f es integrable en [ a, b ] y continua en x 0 ∈ [ a, b ], sea G( x) = ∫ c x f. Entonces G( x) = − ∫ x c f = −F( x), y por tanto G ′( x 0) = −F ′( x 0) = −f( x 0).
De lo anterior se deduce el siguiente resultado general: si f es integrable en un intervalo [ α, β ], a, b: R → R son derivables en x 0 ∈ [ c, d ], a( x), b( x) ∈ [ α, β ] para todo x ∈ [ c, d ], y f es continua en a( x 0) y en b( x 0), entonces G( x) = ∫ b( x) a( x) f es derivable en x 0, y se cumple
G ′( x 0) = f( b( x 0)) b ′( x 0) − f( a( x 0)) a ′( x 0). En efecto, basta darse cuenta de que si γ ∈ [ α, β ] entonces
∫ b( x)
a( x) f =
∫ γ
a( x) f +
∫ b( x)
y aplicar la regla de la cadena( que se cumple también para derivadas laterales) a cada una de estas dos integrales.
5.5. Cálculo de primitivas
Llamaremos primitiva( ó integral indefinida) de una función f: R → R definida en un intervalo J a cualquier función g: R → R tal que g ′ = f en J( donde estamos utilizando el convenio de escribir g ′( x) por g ′( x + 0) ó g ′( x−0) si x es uno de los extremos de J). Nótese que si g es una primitiva de f en un intervalo J entonces cualquier otra primitiva de f es de la forma g + c para alguna constante c. En efecto, si ˜g es otra primitiva de f entonces( ˜g − g) ′ = f − f = 0 en J, de donde se deduce( por ser J un intervalo) que ˜g − g es constante en J. La importancia de conocer una primitiva de f se deriva de la regla de Barrow. En efecto, si conocemos una primitiva( continua) g de una función f integrable en [ a, b ] entonces ∫ b a f se calcula sencillamente evaluando g( b) − g( a), que a partir de ahora denotaremos a veces por g( x)| x = b x = a ó g( x)| b a. Por ejemplo, si p ∈ R entonces la igualdad
( x p + 1) ′ =( p + 1) x p
es válida para todo x > 0, siendo el miembro derecho una función continua en( 0, ∞). Por tanto, si p ≠ −1 y 0 < a < b dividiendo por p + 1 se obtiene
∫ b
a x p dx = xp + 1 p + 1∣
x = b
x = a γ f,
= bp + 1 − a p + 1. p + 1