CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 113
F = g + c en [ a, b ]. De F( a) = 0 = g( a) + c se obtiene que c = −g( a), de donde se sigue que
∫ b
a f = F( b) = g( b) + c = g( b) − g( a).
Q. E. D.
El corolario anterior es en realidad válido bajo la hipótesis más débil de que f sea integrable en [ a, b ]:
Teorema( regla de Barrow). Si f es integrable en [ a, b ], g es continua en [ a, b ] y g ′ = f en( a, b), entonces
∫ b
a f = g( b) − g( a).( 5.9)
Demostración. Sea P = { x 0,..., x n } una partición cualquiera de [ a, b ]. Como g es continua en [ a, b ] y derivable en( a, b), g es continua en [ x i−1, x i ] y derivable en( x i−1, x i) para todo i = 1,2,..., n. Por el teorema del valor medio, existe c i ∈( x i−1, x i) tal que
Como g( x i) − g( x i−1) = g ′( c i)( x i − x i−1) = f( c i)( x i − x i−1).
m i = inf { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]} ≤ f( c i) ≤ sup { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]} = M i, se tiene m i( x i − x i−1) ≤ g( x i) − g( x i−1) ≤ M i( x i − x i−1), i = 1,..., n de donde se sigue( sumando en i desde 1 hasta n) L( f, P) ≤ g( b) − g( a) ≤ U( f, P).
Al ser esto cierto para cualquier partición P de [ a, b ], y ser f integrable en [ a, b ],( 5.9) se sigue de la Proposición 5.7. Q. E. D.
El teorema fundamental del Cálculo admite múltiples generalizaciones elementales que es preciso conocer. En primer lugar, si f es integrable en [ a, b ] y continua en x 0 ∈ [ a, b ], y c ∈ [ a, b ], la función F( x) = ∫ x c f es derivable en x 0 con derivada F ′( x 0) = f( x 0). En efecto,
F( x) =
∫ x
a f −
siendo el segundo término una constante.
∫ c
a f,