CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 112
Veamos, a continuación, que si f es continua en [ a, b ] entonces ∫ x a f es derivable en [ a, b ], y su derivada es igual a f:
Teorema fundamental del Cálculo. Si f es integrable en [ a, b ] y continua en c ∈ [ a, b ], y para todo x ∈ [ a, b ] definimos F( x) = ∫ x a f, entonces F es derivable en c y F ′( c) = f( c).
Nota. Si c = a, la continuidad de f en c significa que f es continua por la derecha en c = a, y la igualdad F ′( c) = f( c) debe entenderse como F ′( a + 0) = f( a). Análogamente si c = b. A partir de ahora, utilizaremos sin mencionarlo este convenio.
Demostración. Probaremos, de nuevo, que si f es continua en c ∈( a, b) entonces F es derivable en c y F ′( c) = f( c), dejando para el lector el caso análogo en que c es uno de los extremos del intervalo [ a, b ]. Si h ≠ 0 es tal que c + h ∈ [ a, b ] se tiene
siendo
| F( c + h) − F( c) − hf( c)| = ∣
= ∣
M h =
∫ c + h
a
∫ c + h
c
∫ c f − f − hf( c) ∣ a
() f − f( c) ∣ ≤ M h | h |,
{ sup {| f( x) − f( c)|: x ∈ [ c, c + h ]}, h > 0
sup {| f( x) − f( c)|: x ∈ [ c + h, c ]}, h < 0.
( El supremo existe, ya que al ser f integrable en [ a, b ] es acotada en [ a, b ] y por tanto en [ c, c + h ] ó [ c + h, c ], y lo mismo ocurre obviamente con f −f( c).) Como f es continua en c por hipótesis, lím h→0 M h = 0. Por tanto
F( c + h) − F( c)
∣
− f( c) h ∣ ≤ M h −−−→ 0, h→0 ó equivalentemente
F ′ F( c + h) − F( c)( c) = lím
= f( c). h→0 h
Q. E. D. Corolario 5.19. Si f es continua en [ a, b ] y g ′ = f en [ a, b ] entonces ∫ b a f = g( b) − g( a).
Demostración. En efecto, como f es continua en [ a, b ] entonces la función definida para todo x ∈ [ a, b ] por F( x) = ∫ x a f cumple( teorema fundamental del Cálculo) F ′ = f = g ′ en [ a, b ]. Existe por tanto una constante c tal que