CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 111
Diremos que f es una función continua a trozos en el intervalo [ a, b ] si existe una partición P = { c 0,..., c n } de [ a, b ] tal que para i = 1,2,..., n f es continua en el intervalo( c i−1, c i), y existen lím x→ci−1 + f( x) y lím x→ci − f( x). Por el teorema anterior y el ejercicio 5.2, f es integrable en cada subintervalo [ c i−1, c i ] para i = 1,..., n, y por la propiedad de subdivisión f es integrable en [ a, b ], siendo
∫ b n∑
∫ ci
f = f. a c i−1 i = 1
Las funciones continuas a trozos no son las funciones integrables más generales. En efecto, Lebesgue demostró que una función acotada f es integrable en [ a, b ] si y sólo si el conjunto de discontinuidades de f en [ a, b ] es un conjunto de medida cero( es decir, puede ser recubierto por una familia numerable de intervalos la suma de cuyas longitudes sea menor que cualquier ɛ > 0). Por ejemplo, una función acotada en [ a, b ] cuyo conjunto de discontinuidades en dicho intervalo sea numerable es integrable en [ a, b ].
5.4. El teorema fundamental del Cálculo
En esta sección estudiaremos el comportamiento de la integral de una función como función de su límite superior. La idea fundamental es que si f es integrable en [ a, b ] y F( x) = ∫ x a f entonces F es una función más regular que f. Por ejemplo, si f es integrable F es continua, y si f es continua entonces F es derivable. Empezaremos estableciendo la continuidad de ∫ x a f para cualquier función integrable f:
Proposición 5.18. Si f es integrable en [ a, b ] y F: R → R se define por F( x) = ∫ x a f, para todo x ∈ [ a, b ], entonces F es continua en [ a, b ].
Demostración. Nótese, para empezar, que si f es integrable en [ a, b ] entonces f es integrable en [ a, x ] para todo x ∈ [ a, b ]; por tanto, F está definida en [ a, b ]. Probemos, por ejemplo, que F es continua en c ∈( a, b)( la continuidad de F por la derecha en a y por la izquierda en b se demuestra de forma totalmente análoga). En efecto, cualquiera que sea x ∈ [ a, b ] se tiene
F( x) − F( c) =
∫ x
a
Como f es integrable en [ a, b ], ha de estar acotada en dicho intervalo; existe por tanto M > 0 tal que | f( x)| ≤ M para todo x ∈ [ a, b ], de donde se deduce que
∫ x
| F( x) − F( c)| = ∣ f
∣ ≤ M | x − c | −−→ 0. x→c c f −
∫ c
a f =
∫ x
c f.
Q. E. D.