CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 110
y por tanto [
x, y ∈ a, a + δ ] = ⇒ | f( x) − f( y)|
2 ≤ | f( x) − f( a)| + | f( y) − f( a)| < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, por lo que a + δ 2 ∈ A.
Veamos a continuación que z = b. En efecto, si fuera a < z < b entonces f sería continua en z, y por tanto existiría δ > 0 tal que f es ɛ-buena en( z − δ, z + δ) ⊂ [ a, b ]. Por otra parte, por definición de supremo existe t ∈( z − δ, z ] ∩ A. Al ser t ∈ A, f es ɛ-buena en [ a, t ]. Como f es continua en t y es ɛ-buena en [ t, z + δ ]
2 ⊂( z − δ, z + δ), entonces f es ɛ-buena en
[ ] a, z + δ
2. Pero esto significa que z + δ 2
∈ A, lo cual contradice la definición de z como el supremo de A.
Resta sólo por ver que b ∈ A, es decir que f es ɛ-buena en [ a, b ]. Al ser f continua en b, existe δ > 0 tal que f es ɛ-buena en( b−δ, b ]. Por ser b = supA, existe t ∈( b − δ, b ] ∩ A. Si t = b, ya hemos terminado. Si t ∈( b − δ, b), de lo anterior se deduce igual que antes que f es ɛ-buena en [ a, b ]. Como esto es válido para todo ɛ > 0, f es uniformemente continua en [ a, b ]. Q. E. D.
Estamos ya en condiciones de probar el principal resultado de esta sección:
Teorema 5.17. Si f es continua en [ a, b ] entonces f es integrable en [ a, b ].
Demostración. Sea ɛ > 0. Como f es uniformemente continua en [ a, b ], existe δ > 0 tal que
x, y ∈ [ a, b ], | x − y | < δ = ⇒ | f( x) − f( y)| < ɛ b − a.( 5. 8) Sea P = { x 0,..., x n } una partición de [ a, b ] tal que x i − x i−1 < δ para todo i = 1,..., n. Como f es continua en cada intervalo [ x i−1, x i ], f alcanzará sus valores mínimo y máximo en [ x i−1, x i ] en dos puntos y i, z i ∈ [ x i−1, x i ], es decir
m i = f( y i) ≤ f( x) ≤ M i = f( z i), ∀x ∈ [ x i−1, x i ], i = 1,..., n. Como | y i − z i | ≤ x i − x i−1 < δ, aplicando( 5.8) se obtiene
| f( y i) − f( z i)| = M i − m i < ɛ, ∀i = 1,..., n. b − a
Entonces n∑ n∑ ɛ
U( f, P) − L( f, P) =( M i − m i)( x i − x i−1) < b − a( x i − x i−1) i = 1
= ɛ b − a i = 1 n∑( x i − x i−1) = ɛ b − a ·( b − a) = ɛ. i = 1 Por la Proposición 5.9, f es integrable en [ a, b ]. Q. E. D.